Suites numériques : Définition explicite ou par récurrence

Introduction

Une suite numérique est une fonction définie sur l'ensemble des entiers naturels, associant à chaque entier un nombre réel. Il existe deux façons principales de définir une suite :

1. Définition explicite

La formule explicite donne directement la valeur de le terme \( u_n \) en fonction de \( n \).
Par exemple : \[ u_n = 3n + 2 \]

où chaque terme peut être calculé en remplaçant \( n \) par la rangée du terme souhaité.

2. Définition par récurrence

La définition par récurrence construit la suite à partir d'un premier terme, puis d'une règle permettant d'obtenir chaque terme à partir des précédents.
Elle consiste en deux étapes :

• Le terme initial \( u_0 \) ou \( u_1 \) est donné : \( u_0 = a \).
• La règle de récurrence : pour tout \( n \), \( u_{n+1} = f(u_n) \).

Par exemple, une suite définie par : \[ u_0 = 2 \quad ext{et} \quad u_{n+1} = 2u_n + 1 \]

Exemples pratiques

Exemple 1 : Suite explicite

Pour la suite \( u_n = 5n - 3 \), on peut calculer :
\( u_4 = 5 imes 4 - 3 = 20 - 3 = 17 \).

Exemple 2 : Suite par récurrence

Pour la suite \( u_0=1 \) et \( u_{n+1} = u_n + 3 \), on calcule :

• \( u_1 = u_0 + 3 = 1 + 3 = 4 \),
• \( u_2 = u_1 + 3 = 4 + 3 = 7 \),
• \( u_3 = u_2 + 3 = 7 + 3 = 10 \), etc.

Résumé

• La définition explicite fournit une formule directe en \( n \).
• La définition par récurrence construit la suite à partir du premier terme et d'une règle.

Ces deux méthodes permettent d'étudier et de calculer différentes suites numériques.