Suites numériques : Définition explicite ou par récurrence

Introduction

Une suite numérique est une liste de nombres organisée de façon ordonnée, généralement notée \( (u_n) \) où \( n \) désigne la position dans la suite (un indice naturel). Elle peut être définie de deux manières :

1. Définition explicite

Une formule explicite permet de calculer directement le terme \( u_n \) en fonction de son rang \( n \). Elle s’écrit généralement sous la forme :

Exemple : si la suite est définie par \( u_n = 3n + 2 \), alors pour \( n=1 \), on a \( u_1=5 \), pour \( n=2 \), \( u_2=8 \), etc.

2. Définition par récurrence

Une suite définie par récurrence est déterminée par une valeur initiale et une formule permettant d’obtenir chaque terme à partir du ou des termes précédents. Elle se présente sous la forme :

Exemple : la suite définie par \( u_1=2 \) et \( u_{n+1} = u_n + 3 \) est une suite arithmétique de raison 3.

Résumé

• La formule explicite permet de connaître directement le terme en fonction de son indice.
• La définition par récurrence repose sur une valeur initiale et une règle pour obtenir le terme suivant à partir du précédent.

Conclusion

Ces deux méthodes offrent différentes façons de définir et d’étudier les suites numériques. La compréhension de ces définitions est essentielle pour analyser leur comportement et leur croissance.