Introduction

Une suite numérique est une fonction dont le domaine est l'ensemble des entiers naturels. Elle permet d'assigner à chaque entier n un nombre réel u_n.

La définition explicite

Une formule explicite donne directement la valeur du terme en fonction de n. Par exemple :

• Suite arithmétique : u_n = u₀ + n×r, où r est la raison.
• Suite géométrique : u_n = u₀×qⁿ, où q est la raison géométrique.

Cette formule permet de calculer directement un terme sans connaître les termes précédents.

La définition par récurrence

Une suite définie par récurrence se construit à partir d’un premier terme et d’une règle de calcul. Par exemple :

• u₀ = a (une valeur initiale)
• u_n+1 = f(u_n) pour un certain f

Par exemple, pour une suite arithmétique :

• u₀ = 2
• u_n+1 = u_n + 3

Les suites définies par récurrence nécessitent souvent de connaître plusieurs termes pour en déterminer la formule explicite.

Résumé

• La formule explicite donne directement u_n.
• La définition par récurrence construit la suite étape par étape à partir d’un initial.