Objectifs

• Savoir reconnaître une suite définie par une formule explicite.
• Savoir reconnaître une suite définie par récurrence.
• Savoir écrire et utiliser ces deux types de définitions.

Notions clés

Une suite \(\left( u_n \right)\) est une fonction de l’entier naturel \(n\). La définir, c’est préciser :

• soit une formule explicite : \(\displaystyle u_n = f(n)\), donnant directement le terme en fonction de \(n\),
• soit une règle de récurrence : \(\begin{cases} u_0 = a \ u_{n+1} = g(n, u_n) \end{cases}\), où chaque terme est défini en fonction du précédent.

Ces deux définitions permettent de calculer tous les termes et d’étudier le comportement de la suite.

Exemples résolus

1. Définition explicite

Considérons la suite \( u_n = 3n + 2 \). C’est une formule explicite : en remplaçant \(n\) par un entier, on trouve le terme.

Par exemple, pour \( n=5 \), \(\displaystyle u_5 = 3 \times 5 + 2 = 17 \).

2. Définition par récurrence

Exemple : \(\begin{cases} u_0 = 2 \ u_{n+1} = u_n + 3 \end{cases}\)

Ce qui signifie que chaque terme est obtenu en ajoutant 3 au précédent, en partant de \( u_0=2 \). Calculons \( u_1 \) :

Erreur fréquente

Résumé

• Une suite peut être définie par une formule explicite : \( u_n = f(n) \) .
• Ou par une règle de récurrence : \( \begin{cases} u_0 = a \ u_{n+1} = g(n, u_n) \end{cases} \).
• Les deux méthodes permettent de calculer les termes et d’analyser leur comportement.

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