Suites numériques et limites

1. Qu'est-ce qu'une suite numérique ?

Une suite numérique est une fonction définie sur l’ensemble des entiers naturels \(\mathbb{N}\), associant à chaque entier naturel \(n\) un nombre réel \(u_n\). On note une suite par \((u_n)\).

2. Exemple de suites

• Suite arithmétique : chaque terme s’obtient en ajoutant une constante au terme précédent. \(u_{n+1} = u_n + r\), où \(r\) est la raison.
• Suite géométrique : chaque terme est obtenu en multipliant le précédent par une constante. \(u_{n+1} = u_n imes q\), où \(q\) est la raison.

3. Limite d’une suite

La limite d’une suite \((u_n)\) quand \(n\) tend vers l’infini, notée \(\lim_{n o \infty} u_n = L\), est la valeur vers laquelle les termes se rapprochent si cette limite existe.

4. La notion de limite

Une suite \((u_n)\) converge vers \(L\) si, pour tout \(arepsilon > 0\), il existe un entier \(N\) tel que, pour tout \(n \geq N\), \(\left| u_n - L ight| < arepsilon\).

5. Exemples

• Suite constante : \(u_n = c\). La limite est \(c\).
• Suite géométrique : \(u_n = u_0 imes q^{n}\).
  Si \(|q| < 1\), alors \(\lim_{n o \infty} u_n = 0\).
• Suite arithmétique : \(u_n = u_0 + n imes r\). Si \(r eq 0\), la suite diverge (n'nous n'a pas de limite finie).

6. Résumé

Les suites permettent de modéliser des phénomènes évolutifs. La limite d'une suite donne une idée de son comportement à long terme. La convergence dépend de la nature de la suite.