Le cours en une phrase simple.

Suites numériques — Introduction intuitive de la notion de limite

Objectifs

Comprendre l'idée générale de ce que signifie qu'une suite a une limite.
Utiliser la notation \(<\\lim_{n \\to \\infty} a_n = L\) et lire ce symbole.
Résoudre des exemples simples et distinguer les suites convergentes des non convergentes.

Notions clés

Intuition: une suite \(a_n\) converge vers \(L\) si les valeurs de \(a_n\) deviennent arbitrairement proches de \(L\) lorsque \(n\) devient très grand. En notation: \(\\lim_{n \\to \\infty} a_n = L\).

Formellement, si pour tout \(\\epsilon > 0\) il existe \(N\) tel que pour tout \(n \ge N\) on a \\|a_n - L\\| < \\epsilon\), alors \(a_n \\to L\).

Exemples résolus

Étape 1: Considérons la suite \(a_n = \\frac{1}{n}\).

Étape 2: Pour \(n=10, 100, 1000\), les valeurs donnent \(a_{10}=\\frac{1}{10}, a_{100}=\\frac{1}{100}, \\ldots\).

Étape 3: Les valeurs deviennent très proches de 0 lorsque \(n\to \\infty\).

Conclusion: \(\\lim_{n \\to \\infty} \\frac{1}{n} = 0\).

Voir la solution

On montre que pour tout \(\\epsilon > 0\) il existe \(N\) tel que pour tout \(n \\ge N\) \\|1/n - 0\\| < \\epsilon. Prenons \(N = \\lceil 1/\\epsilon \\rceil\). Donc pour tout \(n \ge N\), \\|1/n\\| < \\epsilon.

Cartes mémo

Limite d'une suite

Valeur L telle que les termes a_n deviennent arbitrairement proches de L lorsque n → ∞.

Convergence

Une suite qui admet une limite; notation: \(a_n \to L\).

Non-convergence

Quand aucune valeur L ne satisfait \(\\forall \(\\epsilon > 0\) : \\|a_n - L\\| < \\epsilon\) pour n assez grand.

Récapitulatif rapide

Limite: valeur cible que les termes d'une suite approchent à mesure que n grandit.

Convergence: existence d'une limite; notation \(\\lim_{n \to \infty} a_n = L\).

Cas de divergence: la suite ne converge pas vers une seule valeur.

Intuition: penser à viser une cible et voir les points se rapprocher.