Suites numériques : Suites arithmétiques et géométriques

Introduction

Une suite numérique est une liste ordonnée de nombres. Deux types courants de suites sont : les suites arithmétiques et géométriques.

Suites arithmétiques

Définition

Une suite \((u_n)\) est arithmétique si la différence entre deux termes consécutifs est constante :

Il existe une valeur \( r \) appelée raison telle que : \[ u_{n+1} = u_n + r \quad orall n \geq 1 \]

Terme général

Le terme général, ou formule du nième terme, est :

\[ u_n = u_1 + (n-1)r \]

où \( u_1 \) est le premier terme de la suite.

Somme des termes (série)

La somme des \( n \) premiers termes de la suite arithmétiques est :

\[ S_n = rac{n}{2} (u_1 + u_n) \]

ou encore :

\[ S_n = rac{n}{2} \left( 2u_1 + (n-1)r ight) \]

Suites géométriques

Définition

Une suite \((v_n)\) est géométrique si le rapport entre deux termes consécutifs est constant :

Il existe une valeur \( q \) appelée raison géométrique telle que : \[ v_{n+1} = v_n imes q \quad orall n \geq 1 \]

Terme général

Le terme général est :

\[ v_n = v_1 imes q^{n-1} \]

Somme des premiers termes

La somme des \( n \) premiers termes de la suite géométrique est :

Si \( q eq 1 \),

\[ S_n = v_1 imes rac{q^n - 1}{q - 1} \]

si \( q = 1 \), alors tous les termes sont égaux à \( v_1 \) et :

\[ S_n = n imes v_1 \]

Résumé

• Suite arithmétique : terme général \( u_n = u_1 + (n-1)r \)
• Somme arithmétique : \( S_n = rac{n}{2} (u_1 + u_n) \)
• Suite géométrique : terme général \( v_n = v_1 imes q^{n-1} \)
• Somme géométrique : \( S_n = v_1 imes rac{q^n - 1}{q - 1} \), pour \( q eq 1 \)