1. Introduction aux suites

Une suite numérique est une liste ordonnée de nombres, notée généralement  \( (u_n)_{n \in \mathbb{N}} \) , où chaque terme est noté  \( u_n \) , avec  \( n \)  un entier naturel.

2. Suites arithmétiques

Définition

Une suite est arithmétique si la différence entre deux termes consécutifs est constante :

 \( u_{n+1} - u_n = r \), où \( r \) est la raison.

Terme général

Le terme initial est \( u_0 \) ou \( u_1 \). Le terme général s'exprime comme :

\[ u_n = u_0 + n \times r \quad \text{ou} \quad u_n = u_1 + (n - 1) \times r \]

Exemple

Dans la suite \( 3, 5, 7, 9, ... \), la raison est \( r = 2 \) et le terme initial est \( u_0 = 3 \).

Termes généraux :

\[ u_n = 3 + (n - 1) \times 2 \]

Somme des premiers termes

La somme des \( n \) premiers termes est donnée par :

\[ S_n = \frac{n}{2} \times (u_1 + u_n) \]

3. Suites géométriques

Définition

Une suite est géométrique si le rapport entre deux termes consécutifs est constant :

 \( \frac{u_{n+1}}{u_n} = q \), où \( q \) est la raison.

Terme général

Le terme général s'exprime comme :

\[ u_n = u_0 \times q^n \quad \text{ou} \quad u_n = u_1 \times q^{n - 1} \]

Exemple

Dans la suite \( 2, 4, 8, 16, ... \), la raison est \( q = 2 \) et le premier terme est \( u_0 = 2 \).

Termes généraux :

\[ u_n = 2 \times 2^{n - 1} \]

Somme des premiers termes

Pour \( q \neq 1 \), la somme des \( n \) premiers termes est :

\[ S_n = u_1 \times \frac{q^n - 1}{q - 1} \]