Les suites numériques se manipulent bien avec des algorithmes : itérer, vérifier un seuil, ou simuler des termes comme la suite de Fibonacci.

Suites numériques et algorithmes — calculs et simulations (niveau 1ère)

Objectifs

Comprendre les définitions de suites (récurrence, explicite).
Savoir traduire une définition en algorithme itératif.
Appliquer cela pour Fibonacci et problèmes de seuil (seuil minimal dépassé).
Savoir estimer le nombre d'étapes et vérifier avec un calcul ou une simulation.

Notions clés

Définition d'une suite

Une suite est une fonction définie sur les entiers naturels. On note souvent \(\left(u_n\right)_{n\ge 0}\) ou \(\left(u_n\right)_{n\ge 1}\).

Suites arithmétiques et géométriques

Suite arithmétique : \(u_{n+1}=u_n+r\) (raison \(r\)).
Suite géométrique : \(u_{n+1}=q\,u_n\) (raison \(q\)) et explicite \(u_n=u_0\,q^n\).

Suites définies par récurrence — exemple : Fibonacci

La suite de Fibonacci est définie par \(F_{0}=0,\; F_{1}=1,\; F_{n+1}=F_n+F_{n-1}\).

Problème de seuil (seuil minimal dépassé)

Pour une suite géométrique croissante \(u_n=u_0 q^n\) (avec \(q>1\)), trouver le plus petit \(n\) tel que \(u_n\ge S\) revient à résoudre:

\begin{align} u_n &= u_0 q^n \\\ q^n &\ge \frac{S}{u_0} \\\ n &\ge \frac{\ln\left(\frac{S}{u_0}\right)}{\ln q} \end{align}

Question : pour une suite géométrique \(u_n=5\times 2^n\), quel est le premier \(n\) tel que \(u_n\ge 80\) ?

n = 3
n = 4
n = 2

Calcul : \(5\times 2^n\ge 80\Rightarrow 2^n\ge 16\Rightarrow n\ge 4\). La bonne réponse est n = 4.

Exemples résolus et algorithmes

Exemple 1 — Fibonacci (itératif)

On veut calculer les termes \(F_0\) à \(F_7\) de la suite de Fibonacci.

Étape 1 : initialiser a = 0 (\(F_0\)), b = 1 (\(F_1\)).

Étape 2 : pour i de 2 à 7 faire : c = a + b ; a = b ; b = c.

Étape 3 : lire les termes au fur et à mesure : 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13.

Voir la solution

Résultat : \(F_0=0,\; F_1=1,\; F_2=1,\; F_3=2,\; F_4=3,\; F_5=5,\; F_6=8,\; F_7=13\).

flowchart LR
      Start([Start]) --> Init[Init: a=0\nb=1\ni=2]
      Init --> Check{i <= 7}
      Check -- yes --> Add[c = a + b]\nAdd --> Shift[a = b\nb = c]
      Shift --> Inc[i = i + 1]
      Inc --> Check
      Check -- no --> End([End])

Question : quel est \(F_6\) ?

La suite est 0,1,1,2,3,5,8 donc \(F_6=8\).

Exemple 2 — Problème de seuil (suite géométrique)

Soit \(u_n=100\times 1{,}05^n\). Trouver le plus petit entier \(n\) tel que \(u_n\ge 200\).

Cherche d'abord, puis vérifier la solution

\begin{align} u_n &= 100\times 1{,}05^n \\\ 1{,}05^n &\ge 2 \\\ n &\ge \frac{\ln 2}{\ln 1{,}05} \approx \frac{0{,}6931}{0{,}04879} \approx 14{,}21 \end{align}

Donc le plus petit entier \(n\) est \(15\).

Question : pour \(u_n=100\times1{,}05^n\), quel est \(u_{15}\) arrondi au centime ?

\(100\times1{,}05^{15}\) (environ 207,89)
\(100\times1{,}05^{14}\) (environ 198,94)
\(100\times1{,}05^{13}\) (environ 189,47)

Calcul direct : \(100\times1{,}05^{15}\approx 207{,}89\), donc choix 1. C'est bien \(\ge 200\) pour n=15.

Visualisation (suite géométrique continue approchée)

On peut représenter \(u(x)=u_0\,q^x\) comme courbe continue pour voir le passage du seuil ; ajustez \(u_0\) et \(q\).

Erreurs fréquentes

Complexité : si on calcule un terme \(u_n\) par itération on fait \(O(n)\) opérations ; pour des indices très grands, cherchez des formules fermées ou des méthodes logarithmiques si disponibles.

Question : quel est le coût en opérations (en notations usuelles) pour calculer \(u_n\) d'une suite définie par récurrence simple, par itération ?

O(1)
O(log n)
O(n)

On calcule successivement chaque terme jusqu'à n, donc le nombre d'opérations croît linéairement en n.

Schéma : flux d'un algorithme itératif pour une suite

flowchart LR
      A([Start]) --> B[Initialisation u0, n=0]
      B --> C{n < N ?}
      C -- yes --> D[Calculer u_{n+1} = f(u_n, n)]
      D --> E[Incrémenter n]
      E --> C
      C -- no --> F([Stop, afficher u_N])

Récapitulatif

Convertir une définition en algorithme : bien initialiser, itérer la relation de récurrence.
Pour un seuil, résoudre analytiquement si possible (logs pour géométrique) puis arrondir à l'entier adéquat.
Tester avec une simulation : les algorithmes permettent de vérifier rapidement les résultats et d'éviter les erreurs de calcul manuel.

Suite géométrique

\(u_n=u_0 q^n\), raison q, explicite.

Suite arithmétique

\(u_{n+1}=u_n+r\), termes en progression linéaire.

Fibonacci

\(F_{n+1}=F_n+F_{n-1},\; F_0=0,\;F_1=1\).

Seuil

Résoudre \(u_0 q^n \ge S\) avec les logarithmes si \(q>1\).