Suites récurrentes : notion et exemples

Les suites récurrentes sont des suites où chaque terme dépend du ou des termes précédents.

Objectifs

Comprendre ce qu'est une suite récurrente.
Savoir écrire la relation de récurrence d'une suite.
Calculer quelques termes d'une suite récurrente à partir de la relation et des conditions initiales.

Notions clés

Exemple résolu

Problème

On considère la suite \(\left( u_n \right)\) définie par :

- \( u_1 = 2 \) - \( u_{n+1} = 3 u_n \)

> Quelle est la formule de généralisation de cette suite ?

Solution

Voir la solution étape par étape

Pour trouver une formule explicite de \( u_n \), on note la relation : \( u_{n+1} = 3 u_n \).

En partant de \( u_1 = 2 \), on calcule quelques termes : \[ u_2 = 3 u_1 = 3 \times 2 = 6 \] \[ u_3 = 3 u_2 = 3 \times 6 = 18 \] \[ u_4 = 3 u_3 = 3 \times 18 = 54 \]

On remarque une croissance géométrique avec un facteur de 3. La formule générale est donc : \[ u_n = u_1 \times 3^{n-1} = 2 \times 3^{n-1} \].

Mini quiz

Quelle est la formule de la suite \( u_n \) ?

\( u_n = 2 \times 2^{n-1} \)
\( u_n = 2 \times 3^{n-1} \)
\( u_n = 2 \times n \)

Parce que chaque terme est multiplié par 3 à chaque étape, la formule géométrique est adaptée : \( u_n = 2 \times 3^{n-1} \).

Erreur fréquente

Récapitulatif

Une suite récurrente est définie par une relation de dépendance entre termes successifs.
Elle requiert souvent une condition initiale pour commencer.
La formule explicite permet de calculer directement le terme en fonction de n.

Notions clés à mémoriser

Relation de récurrence

Lien entre un terme et ses précédents

Condition initiale

Premier terme pour démarrer la suite

Formule explicite

Expression du terme en fonction de n