Suites : suites géométriques et suites adjacentes

1. Suites géométriques

Une suite \(\left( u_n ight)\) est dite géométrique si le rapport entre deux termes consécutifs est constant. Ce rapport est appelé raison de la suite, notée \( r \).

Formule générale :

\[ u_{n+1} = u_n imes r \quad ext{avec} \quad r \in \mathbb{R}^* \]

Si \( u_0 \) est le premier terme, la formule explicite du terme général est :

\[ u_n = u_0 imes r^n \]

2. Propriétés des suites géométriques

• Si \( |r| < 1 \), la suite tend vers 0 quand \( n o \infty \).
• Si \( r > 1 \), la suite tend vers \( +\infty \).
• Si \( r < 0 \), la suite alterne en signe.

3. Suites adjacentes

Deux suites \(\left( u_n ight)\) et \(\left( v_n ight)\) sont dites adjacentes si elles vérifient :

• Leur différence tend vers zéro :

\[ \lim_{n o \infty} (u_n - v_n) = 0 \]

• Convergence vers la même limite :

\[ \lim_{n o \infty} u_n = \lim_{n o \infty} v_n = L \]

Exemple : Si \( u_n = a r^n \) et \( v_n = b r^n \) avec le même \( r \), alors elles sont adjacentes si \( a \) et \( b \) sont proches.

Conclusion

Les suites géométriques sont caractérisées par leur raison et leur terme initial. Leur comportement à l'infini dépend de cette raison. Les suites adjacentes permettent d'étudier la convergence et la proximité de suites similaires.