Systèmes à trois inconnues : la méthode du pivot de Gauss et les contraintes d'inégalité

Pour résoudre un système de trois équations à trois inconnues, on le transforme en système « en escalier » où chaque ligne a une inconnue de moins ; quand des inégalités s'ajoutent, une équation permet d'éliminer une inconnue et de se ramener à une région du plan.

Objectifs

Reconnaître un système linéaire de trois équations à trois inconnues et vérifier qu'un triplet en est solution.
Appliquer la méthode du pivot de Gauss pour obtenir un système triangulaire, puis remonter les calculs.
Reconnaître les cas : une solution, aucune solution, une infinité de solutions.
Traiter des contraintes d'inégalité à trois inconnues en éliminant une inconnue, puis en représentant la région solution dans le plan.

1. Système à trois inconnues : de quoi parle-t-on ?

Un système linéaire de trois équations à trois inconnues \(x\), \(y\), \(z\) s'écrit :

\[\begin{cases} a_1x + b_1y + c_1z = d_1 \\ a_2x + b_2y + c_2z = d_2 \\ a_3x + b_3y + c_3z = d_3 \end{cases}\]

Une solution est un triplet \((x ; y ; z)\) qui vérifie les trois équations à la fois. Résoudre, c'est trouver tous ces triplets.

Le triplet \((1 ; 2 ; 3)\) est-il solution du système \(\begin{cases} x + y + z = 6 \\ 2x - y + z = 3 \\ x + 2y - z = 1 \end{cases}\) ?

Oui, il vérifie les trois équations.
Non, il vérifie les deux premières mais pas la troisième.
Non, il ne vérifie aucune équation.

\(1 + 2 + 3 = 6\) et \(2 - 2 + 3 = 3\) sont vraies, mais \(1 + 4 - 3 = 2 \neq 1\). Il faut que les trois égalités soient vraies : ce n'est pas une solution.

2. La méthode du pivot de Gauss

On garde toujours un système équivalent (mêmes solutions) grâce à deux opérations autorisées sur les lignes \(L_1\), \(L_2\), \(L_3\) :

échanger deux lignes ;
remplacer une ligne \(L_i\) par \(\alpha L_i + \beta L_j\), avec \(\alpha \neq 0\) et \(j \neq i\).

Le but est d'obtenir un système triangulaire (en escalier) :

\[\begin{cases} \cdots x + \cdots y + \cdots z = \cdots \\ \phantom{\cdots x +{}} \cdots y + \cdots z = \cdots \\ \phantom{\cdots x + \cdots y +{}} \cdots z = \cdots \end{cases}\]

flowchart LR
  A[Choisir un pivot en x dans L1] --> B[Eliminer x de L2 et L3]
  B --> C[Pivot en y dans la nouvelle L2]
  C --> D[Eliminer y de L3]
  D --> E[Calculer z puis y puis x]
  E --> F[Verifier dans le systeme de depart]

Exemple résolu 1 : les fruits d'Aïcha

Le prix d'une mangue est \(x\), d'une orange \(y\), d'un avocat \(z\) (en F CFA). Cherche d'abord à éliminer \(x\) des lignes 2 et 3.

\[\begin{cases} x + y + z = 350 & (L_1) \\ 2x + 3y + z = 550 & (L_2) \\ x + 2y + 2z = 600 & (L_3) \end{cases}\]

\(L_2 \leftarrow L_2 - 2L_1\) : \((2x + 3y + z) - (2x + 2y + 2z) = 550 - 700\), soit \(y - z = -150\).

\(L_3 \leftarrow L_3 - L_1\) : \((x + 2y + 2z) - (x + y + z) = 600 - 350\), soit \(y + z = 250\).

\(L_3 \leftarrow L_3 - L_2\) : \((y + z) - (y - z) = 250 - (-150)\), soit \(2z = 400\), donc \(z = 200\).

On remonte : \(y - 200 = -150\) donne \(y = 50\) ; puis \(x = 350 - 50 - 200 = 100\).

Vérification : \(2 \times 100 + 3 \times 50 + 200 = 550\) et \(100 + 2 \times 50 + 2 \times 200 = 600\). Une mangue coûte 100 F, une orange 50 F, un avocat 200 F : \(S = \{(100 ; 50 ; 200)\}\).

Exemple résolu 2 : un système avec des signes moins

Résous \(\begin{cases} x + y + z = 6 \\ 2x - y + z = 3 \\ x + 2y - z = 2 \end{cases}\). Cherche d'abord, puis compare.

Voir la solution

\begin{align} L_2 \leftarrow L_2 - 2L_1 &: \quad -3y - z = -9 \\ L_3 \leftarrow L_3 - L_1 &: \quad y - 2z = -4 \\ L_3 \leftarrow 3L_3 + L_2 &: \quad -7z = -21 \quad\text{donc}\quad z = 3 \end{align}

Puis \(y = -4 + 2z = 2\) et \(x = 6 - y - z = 1\). Vérification : \(2 - 2 + 3 = 3\) et \(1 + 4 - 3 = 2\). Donc \(S = \{(1 ; 2 ; 3)\}\).

Dans le système \(\begin{cases} x + 2y - z = 4 \\ 3x + y + 2z = 5 \\ \ldots \end{cases}\), quelle opération élimine \(x\) de la deuxième ligne ?

\(L_2 \leftarrow L_2 + 3L_1\)
\(L_2 \leftarrow L_2 - L_1\)
\(L_2 \leftarrow L_2 - 3L_1\)

Le coefficient de \(x\) devient \(3 - 3 \times 1 = 0\). On obtient \(-5y + 5z = -7\).

3. Aucune solution ou une infinité de solutions

Au cours de la méthode de Gauss, une ligne peut perdre toutes ses inconnues :

si elle devient \(0 = k\) avec \(k \neq 0\) : c'est impossible, le système n'a aucune solution ;
si elle devient \(0 = 0\) : elle n'apporte rien ; il reste moins d'équations que d'inconnues et le système a une infinité de solutions, exprimées à l'aide d'un paramètre.

Exemple résolu 3 : un système impossible

Résous \(\begin{cases} x + y + z = 3 \\ x + 2y + 3z = 6 \\ 2x + 3y + 4z = 10 \end{cases}\). Cherche d'abord.

Voir la solution

\(L_2 - L_1\) : \(y + 2z = 3\). \(L_3 - 2L_1\) : \(y + 2z = 4\). En soustrayant ces deux lignes : \(0 = 1\), ce qui est faux. Donc \(S = \varnothing\).

Exemple résolu 4 : une infinité de solutions

Même système, mais la dernière équation est \(2x + 3y + 4z = 9\). Cherche d'abord.

Voir la solution

\(L_2 - L_1\) et \(L_3 - 2L_1\) donnent toutes deux \(y + 2z = 3\) : la dernière ligne devient \(0 = 0\).

On pose \(z = t\) (\(t\) réel quelconque). Alors \(y = 3 - 2t\) et \(x = 3 - y - z = 3 - (3 - 2t) - t = t\).

\[S = \{(t ; 3 - 2t ; t),\ t \in \mathbb{R}\}\]

Vérification dans la 3e équation : \(2t + 3(3 - 2t) + 4t = 2t + 9 - 6t + 4t = 9\). Par exemple, \((0 ; 3 ; 0)\) et \((1 ; 1 ; 1)\) sont deux solutions.

Après la méthode de Gauss, la dernière ligne d'un système est \(0x + 0y + 0z = 5\). Que conclut-on ?

Le système a une infinité de solutions.
Le système n'a aucune solution.
\(z = 5\).

La ligne dit \(0 = 5\), ce qui est toujours faux : aucun triplet ne peut la vérifier.

4. Inéquations à trois inconnues : se ramener au plan

Une inéquation linéaire à trois inconnues s'écrit par exemple \(ax + by + cz \leq d\). Un triplet est solution d'un système d'inéquations s'il vérifie toutes les inégalités. Quand le problème contient aussi une équation, on s'en sert pour exprimer une inconnue en fonction des deux autres : on obtient un système d'inéquations à deux inconnues, que l'on résout graphiquement dans le plan.

Exemple résolu 5 : traduire et réduire les contraintes

Cherche d'abord à écrire toutes les contraintes, puis à éliminer \(z\).

Contraintes : \(x + y + z = 10\), \(x \geq 0\), \(z \geq 0\), \(y \geq 2\), \(z \geq x\).

L'équation donne \(z = 10 - x - y\).

\(z \geq 0 \iff 10 - x - y \geq 0 \iff x + y \leq 10\).

\(z \geq x \iff 10 - x - y \geq x \iff 2x + y \leq 10\).

Système à deux inconnues : \(\begin{cases} x \geq 0 \\ y \geq 2 \\ x + y \leq 10 \\ 2x + y \leq 10 \end{cases}\). Comme \(x \geq 0\), la condition \(2x + y \leq 10\) entraîne \(x + y \leq 10\) : cette dernière est automatiquement vérifiée.

\(y \geq 2\) : on garde les points au-dessus de la droite horizontale \(y = 2\).

\(2x + y \leq 10\) : on garde les points sous la droite qui passe par \((0 ; 10)\) et \((5 ; 0)\) ; le point \(O(0 ; 0)\) vérifie \(0 \leq 10\), il est du bon côté.

Avec \(x \geq 0\), la région solution est le triangle de sommets \((0 ; 2)\), \((4 ; 2)\) et \((0 ; 10)\). Chaque point de nombres entiers de ce triangle donne une répartition, avec \(z = 10 - x - y\).

Teste toi-même : le triplet \((3 ; 3 ; 4)\) convient-il ? Et \((4 ; 3 ; 3)\) ?

Voir la solution

\((3 ; 3 ; 4)\) : \(3 + 3 + 4 = 10\), \(y = 3 \geq 2\), \(z = 4 \geq x = 3\) : il convient (et \(2 \times 3 + 3 = 9 \leq 10\)).

\((4 ; 3 ; 3)\) : la somme fait bien 10, mais \(z = 3 < x = 4\) : il ne convient pas (\(2 \times 4 + 3 = 11 > 10\), le point est hors du triangle).

Avec \(x + y + z = 10\), la contrainte \(z \geq 3\) devient :

\(x + y \leq 7\)
\(x + y \geq 7\)
\(x + y \leq 13\)

\(z = 10 - x - y \geq 3 \iff 7 \geq x + y\), c'est-à-dire \(x + y \leq 7\).

Erreurs fréquentes

Combiner deux lignes en gardant l'ancienne ligne modifiée ailleurs : chaque opération remplace une seule ligne, les autres restent inchangées.
Oublier de transformer le second membre, ou se tromper de signe.
Utiliser la même ligne pour éliminer et pour être éliminée (\(L_2 \leftarrow L_2 - L_2\) efface l'information).
Conclure « pas de solution » devant \(0 = 0\) : c'est au contraire une infinité de solutions.
Oublier de vérifier le triplet trouvé dans le système de départ.
Changer le sens d'une inégalité à tort : déplacer un terme d'un membre à l'autre ne change pas le sens ; seules une multiplication ou une division par un nombre négatif le changent.

Récapitulatif

Une solution d'un système à trois inconnues est un triplet qui vérifie toutes les équations.
Pivot de Gauss : éliminer \(x\) de \(L_2\) et \(L_3\), puis \(y\) de \(L_3\), puis remonter \(z \to y \to x\).
Ligne \(0 = k\) (\(k \neq 0\)) : aucune solution ; ligne \(0 = 0\) : infinité de solutions avec un paramètre.
Avec une équation et des inégalités, on élimine une inconnue et on représente la région solution dans le plan.

Solution d'un système 3 × 3

Un triplet \((x ; y ; z)\) qui vérifie les trois équations.

Opération autorisée

\(L_i \leftarrow \alpha L_i + \beta L_j\) avec \(\alpha \neq 0\), ou échange de deux lignes.

Système triangulaire

Chaque ligne a une inconnue de moins : on calcule \(z\), puis \(y\), puis \(x\).

Ligne \(0 = k\), \(k \neq 0\)

Système impossible : \(S = \varnothing\).

Ligne \(0 = 0\)

Infinité de solutions, écrites avec un paramètre \(t\).

Inégalités à trois inconnues

Utiliser l'équation pour éliminer une inconnue, puis résoudre graphiquement dans le plan.