Systèmes d’équations dans \(\mathbb{R}^2\)

Introduction

Un système d’équations consiste à résoudre plusieurs équations en même temps, en trouvant des valeurs de \(x\) et \(y\) qui satisfont toutes les équations simultanément.

Exemple d’un système

Considérons le système :

avec :

• \[ \ egin{cases} 2x + y = 4 \ x - y = 1 \end{cases} \]

Méthodes de résolution

Méthode de substitution

1. Exprimer une variable en fonction de l’autre dans une des équations.
2. Remplacer cette expression dans l’autre équation.
3. Résoudre l’équation obtenue pour trouver une valeur.
4. Revenir à la précédente étape pour déterminer l’autre variable.

Exemple illustré

De l’équation \(x - y = 1\), on exprime \(x\) :

en remplaçant dans la première equation :

  \(\quad 2( y + 1) + y = 4 \)

puis on résout :

  \[\  2y + 2 + y = 4 \Rightarrow 3y = 2 \Rightarrow y = rac{2}{3} \]

Ensuite, on trouve \(x\) :

  \[\  x = y + 1 = rac{2}{3} + 1 = rac{5}{3} \]

Conclusion

Les systèmes d’équations dans \(\mathbb{R}^2\) se résolvent souvent par substitution ou graphique. La solution est le point d’intersection des courbes représentées par chaque équation.