Systèmes d’équations dans ℝ × ℝ

Les systèmes d’équations permettent de résoudre plusieurs équations ensemble pour trouver des valeurs communes.

Objectifs

Comprendre ce qu’est un système d’équations dans le plan.
Savoir résoudre un système par substitution ou égalisation.
Interpréter graphiquement un système d’équations.

Notions clés

Système d’équations : un ensemble de deux ou plusieurs équations à résoudre simultanément.
Solution : le couple \((x, y)\) qui vérifie toutes les équations du système.
Représentation graphique : chaque équation correspond à une droite dans le plan.
Points d’intersection : solutions communes à toutes les équations.

Exemple résolu

Résoudre le système :

 \n\\begin{cases}\n2x + y = 5 \\\\\n x - y = 1\n\\end{cases}\n

Solution :

On peut utiliser la méthode de substitution ou d’égalisation :

Étape 1 : exprimer \(x\) à partir de la deuxième équation : \[ x = y + 1 \].

Étape 2 : remplacer dans la première équation : \[ 2(y + 1) + y = 5 \].

Étape 3 : développer : \[ 2y + 2 + y = 5 \].

Étape 4 : simplifier : \[ 3y + 2 = 5 \].

Étape 5 : résoudre pour y : \[ 3y = 3 \implies y = 1 \].

Étape 6 : retrouver x : \[ x = y + 1 = 2 \].

Solution : (2, 1)

Voir la solution détaillée

On a exprimé \(x\) en fonction de \(y\) depuis la deuxième équation : \( x = y + 1 \). En remplaçant dans la première, on obtient \( 2(y + 1) + y = 5 \). Ce qui se développe en \( 2y + 2 + y = 5 \), puis \( 3y + 2 = 5 \). Finalement, \( 3y = 3 \implies y = 1 \). En remplaçant dans \( x = y + 1 \), on obtient \( x = 2 \). La solution est donc \( (2, 1) \).

Quel est le point d'intersection des droites \( y = 2x + 1 \) et \( y = -x + 4 \) ?

(1, 3)
(1, 3)
(2, 5)

En égalant \( 2x + 1 = -x + 4 \), on trouve \( 3x = 3 \implies x = 1 \), puis \( y = 2 \times 1 + 1 = 3 \), soit le point (1, 3).

Erreurs fréquentes

Oublier de vérifier la solution dans toutes les équations.
Lors de la substitution, ne pas simplifier correctement.
Ne pas représenter graphiquement pour confirmer la solution.

Récapitulatif

Système d’équations

Ensemble de plusieurs équations à résoudre simultanément.

Solution

Couple (x, y) qui vérifie toutes les équations.

Méthodes

Substitution, égalisation, graphique.

Interprétation graphique

Les droites se coupent en un point de solution.

Vérification

Remplacer le point dans chaque équation.