Systèmes d’équations dans ℝ × ℝ

Introduction

Un système d’équations consiste à résoudre plusieurs équations en même temps. Ici, nous étudions des systèmes de deux équations à deux inconnues, x et y, appartenant à l’ensemble des réels.

Définition

Un système de deux équations du type :

où chaque équation relie x et y, est dit compatible s’il admet au moins une solution. La solution est un couple (x, y) dans ℝ × ℝ.

Exemple de système

Résolution graphique

Chaque équation du système peut être représentée par une droite dans le plan ℝ². La solution du système est l’intersection de ces deux droites.

Étapes de la résolution graphique :

1. Tracer la première droite correspondante à la première équation.
2. Tracer la deuxième droite correspondante à la deuxième équation.
3. Identifier le ou les points d’intersection : ce sont les solutions du système.

Exemple concret

Résoudre le système :

Solution :

Tracer les droites y = 2x + 1 et y = -x + 4. Leur point d’intersection donne la solution du système.

Résolution algébrique

On peut aussi résoudre le système par substitution ou autrement, en manipulant les équations pour trouver x et y.

Exemple :

Conclusion

Les systèmes d’équations à deux inconnues peuvent être résolus graphiquement ou algébriquement. La résolution permet de trouver le ou les couples (x, y) qui satisfont les deux équations simultanément.