Objectifs

• Reconnaître une équation et un système linéaire de trois équations à trois inconnues.
• Vérifier qu'un triplet est solution d'un système.
• Résoudre un système \(3 \times 3\) par substitution et par la méthode du pivot de Gauss.
• Reconnaître un système impossible ou un système qui a une infinité de solutions.
• Résoudre une inéquation et un système d'inéquations linéaires, et le représenter graphiquement quand on se ramène à deux inconnues.
• Mettre un problème concret en équation (prix au marché, production d'un atelier).

1. Équation linéaire à trois inconnues

Définition

Une équation linéaire à trois inconnues \(x\), \(y\), \(z\) s'écrit

où \(a\), \(b\), \(c\), \(d\) sont des nombres réels donnés, avec \(a\), \(b\), \(c\) non tous nuls. Une solution est un triplet \((x_0\,;y_0\,;z_0)\) qui rend l'égalité vraie.

En géométrie dans l'espace muni d'un repère, l'ensemble des points \(M(x\,;y\,;z)\) qui vérifient \(ax + by + cz = d\) est un plan. Résoudre un système de trois équations revient donc à chercher les points communs à trois plans.

2. Système de trois équations à trois inconnues

On obtient le système :

Résoudre \((S)\), c'est trouver tous les triplets qui vérifient les trois équations en même temps. On note \(L_1\), \(L_2\), \(L_3\) les trois lignes.

2.1 Méthode par substitution

On exprime une inconnue en fonction des deux autres dans une équation simple, puis on remplace dans les deux autres équations : on obtient un système de deux équations à deux inconnues, que l'on sait résoudre.

2.2 Méthode du pivot de Gauss (élimination)

On transforme le système, sans changer ses solutions, en un système triangulaire (en escalier) grâce aux opérations suivantes :

• échanger deux lignes ;
• multiplier une ligne par un nombre non nul ;
• remplacer une ligne par cette ligne plus un multiple d'une autre ligne, par exemple \(L_2 \leftarrow L_2 - 2L_1\).

flowchart LR
A[Systeme de depart] --> B[Eliminer x dans L2 et L3]
B --> C[Eliminer y dans L3]
C --> D[Trouver z]
D --> E[Remonter vers y puis x]
E --> F[Verifier dans les 3 equations]

Exemple résolu 1 : le prix des fruits

Cherche d'abord, puis déroule les étapes.

Exemple résolu 2 : pivot complet

Résous \[\left\{\begin{array}{l} x + y + z = 6 \\ 2x - y + z = 3 \\ x + 2y - z = 2 \end{array}\right.\]

2.3 Les trois cas possibles

• Une seule solution : on arrive à une valeur unique pour \(z\), puis \(y\), puis \(x\) (les trois plans se coupent en un point).
• Aucune solution : on arrive à une égalité fausse comme \(0 = 3\) : le système est impossible, \(S = \varnothing\).
• Une infinité de solutions : on arrive à une égalité toujours vraie comme \(0 = 0\) : une inconnue reste libre et on exprime les autres en fonction d'elle.

3. Inéquations et systèmes d'inéquations linéaires

3.1 Inéquation à trois inconnues

Une inéquation linéaire à trois inconnues s'écrit \(ax + by + cz \leq d\) (ou avec \(\geq\), \(\lt\), \(\gt\)). Un triplet est solution s'il rend l'inégalité vraie. Il y a en général une infinité de solutions : dans l'espace, elles forment un demi-espace limité par le plan \(ax + by + cz = d\).

Pour Moussa : le panier \((x\,;y\,;z) = (2\,;1\,;2)\) coûte \(400 + 400 + 1000 = 1800\) F, et \(1800 \leq 2000\) : il convient. Le panier \((3\,;2\,;1)\) coûte \(600 + 800 + 500 = 1900\) F : il convient aussi. Le panier \((1\,;2\,;2)\) coûte \(200 + 800 + 1000 = 2000\) F : il convient (égalité permise). Le panier \((0\,;3\,;2)\) coûte \(1200 + 1000 = 2200\) F : il ne convient pas.

3.2 Se ramener à deux inconnues

Dans beaucoup de problèmes, une égalité relie les trois inconnues. On s'en sert pour exprimer \(z\) en fonction de \(x\) et \(y\), puis on remplace dans les inéquations : on obtient un système à deux inconnues, que l'on résout graphiquement dans le plan (régionnement).

3.3 Résolution graphique d'un système à deux inconnues

Chaque inéquation \(ax + by \leq c\) partage le plan en deux demi-plans séparés par la droite \(ax + by = c\). Pour savoir quel côté garder, on teste un point qui n'est pas sur la droite, souvent l'origine \(O(0\,;0)\).

Fais bouger la première droite avec le curseur \(a\) : elle représente \(x + y = a\). Observe comment la région change quand le nombre total de sacs varie.

Exemple résolu 3 : le sommet de la région

Cherche les coordonnées du point où se coupent les droites \(x + y = 6\) et \(x + 2y = 8\), puis interprète-les pour Fatou.

Erreurs fréquentes

Récapitulatif

• Un système de trois équations linéaires à trois inconnues peut avoir une solution, aucune solution ou une infinité de solutions.
• Méthode du pivot de Gauss : éliminer \(x\) dans \(L_2\) et \(L_3\), puis \(y\) dans \(L_3\), trouver \(z\) et remonter.
• Une égalité fausse (\(0 = 3\)) signale un système impossible ; une égalité toujours vraie (\(0 = 0\)) signale une infinité de solutions.
• Une inéquation linéaire a une infinité de solutions ; dans le plan, un système d'inéquations se résout en coloriant la région commune aux demi-plans.
• Diviser ou multiplier par un nombre négatif change le sens d'une inégalité.