Définition

Un système d’équations linéaires est un ensemble de plusieurs équations de la forme \[a_1 x + b_1 y + c_1 z + \dots = d_1,\] \[a_2 x + b_2 y + c_2 z + \dots = d_2,\] et ainsi de suite, où les inconnues \(x, y, z, \dots \) sont les mêmes dans toutes les équations.

Objectif

Résoudre un système d’équations consiste à trouver toutes les valeurs des inconnues qui satisfont toutes les équations simultanément.

Méthodes de résolution

1. Méthode de substitution

On exprime une inconnue en fonction des autres dans une équation, puis on remplace dans les autres équations.

2. Méthode de combinaison

On ajoute ou soustrait les équations pour éliminer une inconnue, afin de simplifier le système.

3. Méthode par matrice (algébrique)

Utilisation du calcul matriciel comme la règle de Cramer ou la réduction par Gauss.

Exemple

Considérons le système : \[ egin{cases} 2x + y = 5 \\ x - y = 1 \end{cases} \]

On peut utiliser la méthode de substitution :

Exprimer \(x\) dans la deuxième équation : \[x = y + 1\]

Puis remplacer dans la première équation : \[2(y + 1) + y = 5 \implies 2y + 2 + y = 5 \implies 3y = 3 \implies y = 1\]

Et \(x = y + 1 = 2\).

Solution : \(x=2\), \(y=1\).