Systèmes d’Équations Linéaires

1. Définition

Un système d’équations linéaires est un ensemble de plusieurs équations du premier degré à plusieurs inconnues. Il s’écrit sous la forme :

2. Exemple de système

Voici un exemple :
\[ egin{cases} \; 2x + y = 4 \\ \; x - y = 1 \end{cases} \] Ce système comporte deux équations avec deux inconnues \( x \) et \( y \).

3. Méthodes de résolution

3.1. Substitution

On exprime une inconnue en fonction de l’autre dans une équation, puis on remplace dans la deuxième.

3.2. Élimination

On additionne ou soustrait les équations pour éliminer une inconnue, permettant de résoudre pour l'autre.

3.3. Méthode graphique

On trace chaque équation sur un même graphique. Les points d’intersection représentent la ou les solutions.

4. Exemple de résolution par substitution

Considérons le système :

\[ egin{cases} 2x + y = 4 \\ x - y = 1 \end{cases} \]

On isoler \( x \) dans la deuxième équation :

\[\ x = y + 1 \]

On remplace dans la première :

\[ 2(y + 1) + y = 4 \] \[ 2y + 2 + y = 4 \] \[ 3y = 2 \] \[ y = rac{2}{3} \]

On trouve \( x \) :

\[ x = rac{2}{3} + 1 = rac{2}{3} + rac{3}{3} = rac{5}{3} \]

Solution : \(\left( rac{5}{3}, rac{2}{3} ight)\).

5. Vérification

On vérifie en remplaçant dans chaque équation :

Dans la première :

\[ 2 imes rac{5}{3} + rac{2}{3} = rac{10}{3} + rac{2}{3} = rac{12}{3} = 4 \]

Dans la deuxième :

\[ rac{5}{3} - rac{2}{3} = rac{3}{3} = 1 \]

Les deux vérifications sont correctes, la solution est donc exacte.