Systèmes d’équations linéaires

Introduction

Un système d’équations linéaires est un ensemble de plusieurs équations du premier degré impliquant les mêmes inconnues. Résoudre un tel système, c’est trouver les valeurs de ces inconnues qui satisfont toutes les équations en même temps.

Notations

Un système de deux équations à deux inconnues peut s’écrire sous la forme :

  a_1 x + b_1 y = c_1
  a_2 x + b_2 y = c_2

où x et y sont les inconnues, et a_i, b_i, c_i sont des coefficients réels.

Méthodes de résolution

1. La méthode de substitution

• Isoler une inconnue dans une équation, puis remplacer dans l'autre.
• Solution : valeurs trouvées pour x et y.

2. La méthode d’élimination

• Multipliez les équations par des nombres pour rendre les coefficients de l’une des inconnues opposés, puis additionnez ou soustrayez.
• Objectif : éliminer une inconnue pour résoudre l’autre.

3. La méthode graphique

• Tracer les deux équations dans un repère.
• Le point d’intersection est la solution du système.

Exemple

Résoudre le système :

  2x + y = 5
  x - y = 1

Solution (méthode de substitution)

1. Isoler x dans la deuxième équation :
   x = y + 1
2. Remplacer dans la première :
   2(y + 1) + y = 5
   2y + 2 + y = 5
   3y = 3
   y = 1
3. Calculer x :
   x = y + 1 = 1 + 1 = 2
4. Solution : (x, y) = (2, 1)

Conclusion

Résoudre un système d’équations linéaires consiste à trouver les valeurs des inconnues qui satisfont toutes les équations. Plusieurs méthodes existent, adaptées selon le contexte.