Objectifs

• Savoir ce qu'est un système de deux équations linéaires à deux inconnues et ce qu'est sa solution.
• Résoudre un système par substitution et par combinaison, et choisir la méthode la plus rapide.
• Interpréter un système comme deux droites : sécantes, parallèles ou confondues.
• Prévoir le nombre de solutions avec le critère \(ab' - a'b\).
• Mettre en équation un problème à deux inconnues et vérifier la réponse.

1. Qu'est-ce qu'un système ?

On note \(x\) le prix d'un kilo d'oignons et \(y\) celui d'un kilo de tomates. Les deux tickets donnent :

• Une équation linéaire à deux inconnues s'écrit \(ax + by = c\), où \(a\), \(b\), \(c\) sont des nombres connus.
• Un système de deux équations linéaires regroupe deux telles équations avec une accolade.
• Une solution du système est un couple \((x\,;\,y)\) qui vérifie les deux équations en même temps.

2. Méthode par substitution

Méthode

1. Dans une équation, isoler une inconnue (de préférence celle qui a pour coefficient 1 ou −1).
2. Remplacer cette expression dans l'autre équation : on obtient une équation à une inconnue.
3. Résoudre cette équation, puis revenir calculer l'autre inconnue.
4. Vérifier dans les deux équations et conclure par le couple solution.

Exemple résolu 1 : les prix au marché

À toi : exemple résolu 2

Résoudre \(\begin{cases} x - 2y = 1 \\ 3x + y = 17 \end{cases}\).

3. Méthode par combinaison

Méthode

1. Multiplier une équation (ou les deux) par des nombres non nuls pour que les coefficients d'une inconnue soient opposés (ou égaux).
2. Additionner (ou soustraire) les deux équations membre à membre : une inconnue disparaît.
3. Résoudre, puis remplacer dans l'une des équations pour trouver l'autre inconnue.
4. Vérifier dans les deux équations.

Exemple résolu 3 : coefficients déjà opposés

Résoudre \(\begin{cases} 3x + 2y = 13 \\ 5x - 2y = 11 \end{cases}\).

Exemple résolu 4 : il faut d'abord multiplier

Résoudre \(\begin{cases} 2x + 3y = 12 \\ 3x + 2y = 13 \end{cases}\). Cherche d'abord.

4. Interprétation géométrique : deux droites

Si \(b \neq 0\), l'équation \(ax + by = c\) s'écrit \(y = -\frac{a}{b}x + \frac{c}{b}\) : c'est l'équation d'une droite. (Si \(b = 0\) et \(a \neq 0\), c'est une droite verticale \(x = \frac{c}{a}\).) Les points de la droite sont exactement les couples solutions de l'équation. La solution du système est donc le point commun aux deux droites.

Exemple : \(\begin{cases} x + y = 5 \\ x - y = 1 \end{cases}\) correspond aux droites \(y = -x + 5\) et \(y = x - 1\). En additionnant, \(2x = 6\), donc \(x = 3\) et \(y = 2\) : les droites se coupent au point \((3\,;\,2)\).

Les trois cas possibles

Pour le système \(\begin{cases} ax + by = c \\ a'x + b'y = c' \end{cases}\), on calcule le nombre \(ab' - a'b\) :

• \(ab' - a'b \neq 0\) : les droites sont sécantes, le système a une seule solution.
• \(ab' - a'b = 0\) : les droites sont parallèles. Soit elles sont strictement parallèles (aucune solution), soit elles sont confondues (une infinité de solutions).

flowchart TD
  A[Calculer ab prime moins a prime b] --> B{Resultat nul}
  B -- non --> C[Droites secantes une solution]
  B -- oui --> D{Meme droite}
  D -- non --> E[Paralleles aucune solution]
  D -- oui --> F[Confondues infinite de solutions]

Exemple résolu 5 : reconnaître les cas particuliers

Manipule : la droite bleue fixe est \(y = 5 - x\). Règle la pente \(a\) et l'ordonnée à l'origine \(b\) de la seconde droite. Avec \(a = 1\) et \(b = -1\), elles se coupent en \((3\,;\,2)\). Avec \(a = -1\), elles deviennent parallèles.

5. Résoudre un problème avec un système

À toi

Au stade, un billet adulte et deux billets enfant coûtent 2 000 F CFA ; deux billets adulte et un billet enfant coûtent 2 500 F CFA. Quel est le prix de chaque billet ?

6. Erreurs fréquentes

Récapitulatif

• Un système de deux équations linéaires à deux inconnues se résout en trouvant le couple \((x\,;\,y)\) qui vérifie les deux équations.
• Substitution : isoler une inconnue, la remplacer dans l'autre équation.
• Combinaison : multiplier puis additionner ou soustraire pour éliminer une inconnue.
• Géométriquement : chaque équation est une droite, la solution est leur point d'intersection.
• \(ab' - a'b \neq 0\) : une solution ; \(ab' - a'b = 0\) : aucune ou une infinité.