Systèmes d'équations linéaires à deux inconnues

Introduction

Un système d'équations linéaires à deux inconnues consiste en deux équations regroupées. L'objectif est de trouver les valeurs des inconnues \( x \) et \( y \) qui satisfont ces deux équations simultanément.

Exemple de système

Voici un exemple de système :

  \[ egin{cases} 2x + y = 5 \\ x - y = 1 \end{cases} \]

Méthodes de résolution

1. La substitution

1. Exprimer l'une des inconnues en fonction de l'autre à partir d'une équation.
2. Substituer cette expression dans l'autre équation pour obtenir une équation à une seule inconnue.
3. Résoudre cette équation, puis revenir à la valeur de l'autre inconnue.

2. L’élimination

1. Multiplier éventuellement une ou les deux équations pour aligner les coefficients d’une inconnue.
2. Soustraire ou additionner les équations pour éliminer cette inconnue.
3. Résoudre l'équation obtenue, puis trouver la seconde inconnue en la substituant dans une des équations initiales.

Résolution d’exemple

Considérons le système :

  \[ egin{cases} 2x + y = 5 \\ x - y = 1 \end{cases} \]

Méthode par substitution :

• Exprimer \( x \) depuis la deuxième équation : \( x = y + 1 \).
• Remplacer dans la première : \( 2(y + 1) + y = 5 \) → \( 2y + 2 + y = 5 \) → \( 3y + 2 = 5 \).
• Résoudre : \( 3y = 3 \) → \( y = 1 \).
• Calculer \( x \) : \( x = 1 + 1 = 2 \).

Conclusion

Les solutions du système sont \( x = 2 \) et \( y = 1 \). La résolution d’un système permet de trouver le ou les points d’intersection de deux droites représentées par leurs équations.