Systèmes d’équations linéaires à deux inconnues

Introduction

Un système d’équations linéaires à deux inconnues consiste en deux équations du type :

• \(a_1x + b_1y = c_1\)
• \(a_2x + b_2y = c_2\)

où \(a_1, b_1, c_1, a_2, b_2,\) et \(c_2\) sont des nombres donnés, et \(x\) et \(y\) sont les inconnues à déterminer.

Objectifs

• Résoudre un système d’équations linéaires à deux inconnues graphiquement et analytiquement.
• Comprendre le sens géométrique des solutions.

Méthodes de résolution

1. La méthode graphique

Tracer chacune des droites associées aux équations sur un même plan. La ou les solutions du système sont les points d’intersection des deux droites.

Exemple : Résoudre le système :

• \(x + y = 4\)
• \(2x - y = 1\)

Graphiquement, on trace :

• Représentation de \(x + y = 4\)
• Représentation de \(2x - y = 1\)

Le point d’intersection est la solution du système.

2. La méthode par substitution

Choisir une équation, exprimer une variable en fonction de l’autre, puis remplacer dans l’autre équation.

Exemple : Résoudre :

• \(x + y = 4\)
• \(2x - y = 1\)

De la première : \( y = 4 - x \)

Substituer dans la deuxième : \(2x - (4 - x) = 1\)

Résoudre pour \(x\) :

2x - 4 + x = 1 \implies 3x = 5 \implies x = rac{5}{3}\)

Puis pour \(y\) :

y = 4 - rac{5}{3} = rac{12}{3} - rac{5}{3} = rac{7}{3}\)

Solution : \(\left(rac{5}{3}, rac{7}{3} ight)\).

3. La méthode par elimination

Multiplier les équations pour éliminer une inconnue en faisant la somme ou la différence.

Exemple : Résoudre :

• \(x + y = 4\)
• \(2x - y = 1\)

Multiplier la première par 1 :

\(x + y = 4\)

Multiplier la deuxième par 1 :

\(2x - y = 1\)

Ajouter l’une à l’autre :

(x + y) + (2x - y) = 4 + 1 \implies 3x = 5 \implies x = rac{5}{3}

Remplacer dans une des équations :

x + y = 4 \implies rac{5}{3} + y = 4 \implies y = 4 - rac{5}{3} = rac{12}{3} - rac{5}{3} = rac{7}{3}\)

Solution : \(\left(rac{5}{3}, rac{7}{3} ight)\).

Interprétation géométrique

Chaque équation représente une droite. La solution du système est le point d’intersection de ces deux droites.

- Si les droites se coupent en un point, il y a une seule solution.

- Si les droites sont confondues, il y a une infinité de solutions.

- Si les droites sont parallèles, il n’y a pas de solution.

Conclusion

Résoudre un système d’équations linéaires à deux inconnues revient à trouver le ou les points où deux droites se croisent. Les méthodes principales sont la résolution graphique, par substitution ou par élimination.