Systèmes d'équations linéaires

Le cours en une phrase simple.

Objectifs

Définir ce qu'est un système d'équations linéaires et sa/leur solution.
Connaître les méthodes de résolution: substitution et système par élimination.
Vérifier les résultats et reconnaître les cas de solution unique, infinie ou inexistante.

Notions clés

Définition: un système d'équations linéaires est un ensemble d'équations du premier degré en les inconnues x, y, ... résolubles simultanément. Pour deux inconnues, on écrit souvent:

\[ \begin{align} x + y &= 3 \\ 2x - y &= 1 \end{align} \]

Méthodes de résolution :

Substitution: isoler une inconnue puis remplacer dans l'autre équation.
Élimination (ou addition): additionner ou soustraire des équations pour faire disparaître une inconnue.

Quel est le type de solution d'un système de deux équations qui ne se coupent pas (parallèles) ?

Unique
Infinité de solutions
Aucune solution

C'est une solution nulle, aucune solution, car les droites ne se croisent pas.

Exemples résolus

Exemple 1: Résoudre le système \[ \begin{align} x + y &= 3 \\ 2x - y &= 1 \end{align} \]

Étape 1: on écrit le système et on peut additionner les équations: (x+y) + (2x - y) = 3 + 1.

Étape 2: on obtient 3x = 4, donc x = \frac{4}{3}.

Étape 3: on retrouve y par substitution: y = 3 - x = 3 - \frac{4}{3} = \frac{5}{3}.

Réponse: x = \frac{4}{3}, y = \frac{5}{3}.

Voir la solution complète étape par étape

Vérification: substituer dans les équations données vérifie bien les égalités.

Méthode alternative: on peut aussi résoudre par élimination en ajoutant les équations après les avoir multipliées pour faire disparaître une inconnue.

Exemple 2: Résoudre le système \[ \begin{align} 3x + 4y &= 5 \\\ 6x + 4y &= 9 \end{align} \]

Étape 1: soustraire les équations (ou soustraire 2 fois la première de la seconde): \((6x+4y) - 2(3x+4y) = 9 - 10\)

Étape 2: cela donne -4y = -1, donc y = \frac{1}{4}.

Étape 3: revenir à la première équation pour trouver x: 3x + 4(\frac{1}{4}) = 5 => 3x + 1 = 5 => x = \frac{4}{3}.

Réponse: x = \frac{4}{3}, y = \frac{1}{4}.

Schéma illustratif

Relation entre une matrice associée et le système:

Récapitulatif

Un système d'équations linéaires: résolution simultanée par substitution ou élimination.
Cas: solution unique (droites se croisant), infinité de solutions (droites coincident), ou aucune solution (droites parallèles).
Vérification par substitution ou substitution inverse.

Cartes Mémo

Notion

Système d'équations linéaires: ensemble d'équations du 1er degré résolues simultanément.

Méthode

Élimination: additionner les équations pour faire disparaître une inconnue.

Vérification

Substituer les solutions trouvées dans les équations pour vérifier les égalités.

Court récapitulatif

Pour un système 2 variables: I) écrire les équations, II) choisir une méthode (substitution ou élimination), III) trouver les valeurs et IV) vérifier.