Systèmes d'équations pas à pas : modéliser, préparer, combiner, contrôler

Un système de deux équations à deux inconnues se traite en cinq étapes : traduire l'énoncé, nettoyer les équations, éliminer une inconnue par combinaison ou substitution, contrôler sur le graphique des deux droites, puis vérifier et conclure.

Objectifs

Traduire un énoncé en système de deux équations à deux inconnues.
Préparer un système : supprimer fractions et décimaux, aligner les inconnues.
Résoudre par combinaison, y compris quand il faut multiplier les deux équations, et par substitution quand un coefficient vaut 1.
Interpréter la solution comme le point d'intersection de deux droites et reconnaître les systèmes sans solution ou avec une infinité de solutions.
Vérifier dans les deux équations et rédiger la réponse.

flowchart LR
  E1[1 Modeliser] --> E2[2 Preparer]
  E2 --> E3[3 Eliminer une inconnue]
  E3 --> E4[4 Controler sur le graphique]
  E4 --> E5[5 Verifier et conclure]

1. Étape 1 : modéliser l'énoncé

Soit \(x\) le nombre de billets adultes et \(y\) le nombre de billets enfants.

Information « nombre de billets » : \(x + y = 120\).

Information « recette » : \(500x + 200y = 45\,000\).

Le système : \(\begin{cases} x + y = 120 \\ 500x + 200y = 45\,000 \end{cases}\)

Seydou achète 3 pains et 2 boîtes de lait pour 1 450 F CFA. Avec \(p\) le prix d'un pain et \(\ell\) celui d'une boîte de lait, quelle équation traduit cet achat ?

\(5(p + \ell) = 1\,450\)
\(3p + 2\ell = 1\,450\)
\(2p + 3\ell = 1\,450\)

3 pains coûtent \(3p\) et 2 boîtes de lait \(2\ell\) : l'achat total vaut \(3p + 2\ell = 1\,450\).

2. Étape 2 : préparer le système

Exemple résolu 1 : nettoyer un système

Préparer \(\begin{cases} \dfrac{x}{2} + \dfrac{y}{3} = 4 \\ 0{,}5x - 0{,}2y = 0{,}8 \end{cases}\)

Première équation : on multiplie tout par 6, et on obtient \(3x + 2y = 24\).

Seconde équation : on multiplie tout par 10, et on obtient \(5x - 2y = 8\).

Système préparé : \(\begin{cases} 3x + 2y = 24 \\ 5x - 2y = 8 \end{cases}\). On le résoudra à l'étape 3.

De même, le système des billets se simplifie : en divisant la seconde équation par 100, \(500x + 200y = 45\,000\) devient \(5x + 2y = 450\).

Par quoi multiplier \(\dfrac{x}{4} - \dfrac{y}{6} = 1\) pour n'avoir que des entiers ?

Par 12 : \(3x - 2y = 12\)
Par 10 : \(10x - 10y = 10\)
Par 4 : \(x - 4y = 4\)

12 est le plus petit multiple commun de 4 et 6 : \(12 \times \frac{x}{4} = 3x\), \(12 \times \frac{y}{6} = 2y\) et \(12 \times 1 = 12\).

3. Étape 3 : éliminer une inconnue

La combinaison, pas à pas

Exemple résolu 2 : coefficients déjà opposés

Résoudre \(\begin{cases} 3x + 2y = 24 \\ 5x - 2y = 8 \end{cases}\)

Les coefficients de \(y\) sont \(+2\) et \(-2\) : on additionne. \((3x + 5x) + (2y - 2y) = 24 + 8\), donc \(8x = 32\).

\(x = 4\).

On remplace dans \(3x + 2y = 24\) : \(12 + 2y = 24\), donc \(y = 6\).

Vérification dans le système de départ : \(\frac{4}{2} + \frac{6}{3} = 2 + 2 = 4\) et \(0{,}5 \times 4 - 0{,}2 \times 6 = 2 - 1{,}2 = 0{,}8\). Solution : \((4\,;\,6)\).

Exemple résolu 3 : les billets du match

Résoudre \(\begin{cases} x + y = 120 \\ 5x + 2y = 450 \end{cases}\). Cherche d'abord quelle équation multiplier.

Pour éliminer \(y\), on multiplie la première équation par 2 : \(2x + 2y = 240\).

Les coefficients de \(y\) sont égaux : on soustrait. \((5x + 2y) - (2x + 2y) = 450 - 240\), donc \(3x = 210\) et \(x = 70\).

\(y = 120 - 70 = 50\).

Vérification : \(70 + 50 = 120\) et \(500 \times 70 + 200 \times 50 = 35\,000 + 10\,000 = 45\,000\). On a vendu 70 billets adultes et 50 billets enfants.

Exemple résolu 4 : multiplier les deux équations

Résoudre \(\begin{cases} 3x + 4y = 10 \\ 2x - 5y = -24 \end{cases}\)

Pour éliminer \(x\), on vise le coefficient commun 6 : première équation multipliée par 2, seconde par 3.

\(6x + 8y = 20\) et \(6x - 15y = -72\).

On soustrait : \(8y - (-15y) = 20 - (-72)\), donc \(23y = 92\) et \(y = 4\).

On remplace : \(3x + 16 = 10\), donc \(3x = -6\) et \(x = -2\).

Vérification : \(3 \times (-2) + 4 \times 4 = 10\) et \(2 \times (-2) - 5 \times 4 = -24\). Solution : \((-2\,;\,4)\).

Quand préférer la substitution

Si une inconnue est déjà isolée, ou a pour coefficient \(1\) ou \(-1\), la substitution est plus rapide.

Résoudre \(\begin{cases} y = 2x + 1 \\ 3x + 2y = 16 \end{cases}\). Cherche d'abord.

Voir la solution

On remplace \(y\) par \(2x + 1\) dans la seconde équation : \(3x + 2(2x + 1) = 16\), soit \(7x + 2 = 16\), donc \(x = 2\).

Puis \(y = 2 \times 2 + 1 = 5\). Vérification : \(3 \times 2 + 2 \times 5 = 16\). Solution : \((2\,;\,5)\).

Pour éliminer \(y\) dans \(\begin{cases} 2x + 3y = 7 \\ 5x - 2y = 8 \end{cases}\), que faire ?

Additionner directement les deux équations
Multiplier la première par 2 et soustraire
Multiplier la première par 2, la seconde par 3, puis additionner

On obtient \(4x + 6y = 14\) et \(15x - 6y = 24\) : les coefficients de \(y\) sont opposés, on additionne. \(19x = 38\), \(x = 2\), puis \(y = 1\).

4. Étape 4 : contrôler sur le graphique

Prenons \(\begin{cases} x + 2y = 8 \\ 3x - y = 3 \end{cases}\). On isole \(y\) : \(y = 4 - \dfrac{x}{2}\) et \(y = 3x - 3\).

On trace la première droite \(y = 4 - \frac{x}{2}\) : elle passe par \((0\,;\,4)\) et \((8\,;\,0)\).

On trace la seconde droite \(y = 3x - 3\) : elle passe par \((1\,;\,0)\) et \((3\,;\,6)\).

On lit le point d'intersection \((2\,;\,3)\) ; le calcul le confirme : \(2 + 6 = 8\) et \(6 - 3 = 3\).

Le graphique donne une valeur approchée ; seul le calcul donne la valeur exacte. Il sert à contrôler qu'on ne s'est pas trompé. Fais varier la seconde droite \(y = ax + b\) et observe le point de rencontre.

Les cas particuliers

\(\begin{cases} 2x - y = 3 \\ 4x - 2y = 5 \end{cases}\) : en multipliant la première par 2, on obtient \(4x - 2y = 6\), qui contredit \(4x - 2y = 5\). Droites parallèles distinctes, aucune solution.
\(\begin{cases} x + 2y = 4 \\ 3x + 6y = 12 \end{cases}\) : la seconde est la première multipliée par 3. Droites confondues, une infinité de solutions : tous les couples \((x\,;\,y)\) tels que \(x + 2y = 4\).

Le système \(\begin{cases} 3x + y = 2 \\ 6x + 2y = 7 \end{cases}\) a :

une seule solution
aucune solution
une infinité de solutions

\(ab' - a'b = 3 \times 2 - 6 \times 1 = 0\) : droites parallèles. Le double de la première donne \(6x + 2y = 4\), et \(4 \neq 7\) : aucune solution.

5. Étape 5 : vérifier et conclure, sur un problème complet

Applique les cinq étapes avant de regarder la solution.

Voir la solution

1. Modéliser. \(x\) bouteilles de bissap, \(y\) bouteilles de gingembre : \(\begin{cases} x + y = 50 \\ 300x + 400y = 17\,200 \end{cases}\)

2. Préparer. On divise la seconde par 100 : \(3x + 4y = 172\).

3. Éliminer. On multiplie la première par 3 : \(3x + 3y = 150\). On soustrait : \(y = 172 - 150 = 22\). Puis \(x = 50 - 22 = 28\).

4. Contrôler. Les valeurs sont des entiers positifs, ce qui est cohérent pour des bouteilles.

5. Vérifier et conclure. \(28 + 22 = 50\) et \(300 \times 28 + 400 \times 22 = 8\,400 + 8\,800 = 17\,200\). Nadia a vendu 28 bouteilles de bissap et 22 de gingembre.

Un élève trouve \(x = 28\) et \(y = 22\) mais ne vérifie que \(x + y = 50\). Que lui manque-t-il ?

La vérification dans la seconde équation
Rien, une équation suffit
Le calcul de \(x - y\)

Une infinité de couples vérifient \(x + y = 50\). La solution doit vérifier les deux équations.

6. Erreurs fréquentes

Récapitulatif

Modéliser : deux inconnues nommées, deux informations indépendantes, deux équations.
Préparer : forme \(ax + by = c\), coefficients entiers et simplifiés.
Combinaison : rendre les coefficients d'une inconnue égaux ou opposés, puis soustraire ou additionner. Substitution : quand une inconnue est isolée ou de coefficient \(\pm 1\).
Graphiquement, la solution est le point d'intersection des deux droites ; si \(ab' - a'b = 0\), droites parallèles : aucune solution ou une infinité.
Vérifier dans les deux équations de départ et conclure par une phrase.

Solution d'un système

Un couple \((x\,;\,y)\) qui vérifie les deux équations à la fois.

Préparer un système

Forme \(ax + by = c\), supprimer fractions et virgules, simplifier.

Combinaison

Coefficients d'une inconnue rendus égaux (on soustrait) ou opposés (on additionne).

Substitution

Isoler une inconnue et la remplacer dans l'autre équation.

Lecture graphique

Point d'intersection des deux droites ; valeur approchée qui sert de contrôle.

\(ab' - a'b = 0\)

Droites parallèles : aucune solution, ou une infinité si elles sont confondues.