Objectifs

• Tester un triplet.
• Relier plan et demi-espace.
• Distinguer région bornée, non bornée et vide.

Satisfaire toutes les contraintes

Une inéquation linéaire à trois inconnues s’écrit par exemple \(ax+by+cz\le d\). Un triplet est admissible s’il vérifie chaque inéquation du système. Le mot « et » correspond à une intersection ; une seule contrainte ne suffit pas.

Teste \((1,2,2)\), puis \((1,2,4)\), pour \(x,y,z\ge0\) et \(x+y+z\le6\).

Plans et demi-espaces

Si \((a,b,c)\ne(0,0,0)\), \(ax+by+cz=d\) est un plan. L’inéquation \(ax+by+cz\le d\) définit un demi-espace incluant le plan. Avec un signe strict, la frontière est exclue. On choisit le bon côté en testant un point hors du plan. L’intersection d’un nombre fini de demi-espaces fermés est une région polyédrique convexe, éventuellement vide ou non bornée.

Pour l’exemple, la région est un tétraèdre incluant ses faces. Le dessin indique les interceptions avec les axes ; sa perspective n’est pas une échelle de mesure.

Pourquoi le plan \(x+y+z=6\) coupe-t-il l’axe de \(x\) en \((6,0,0)\) ?

Bornée, non bornée ou vide

La région \(x,y,z\ge0\) et \(x+y+z\le6\) est bornée : chaque coordonnée appartient à \([0;6]\). Sans la contrainte sur la somme, l’octant positif est non borné. Les contraintes \(x\ge3\) et \(x\le1\) sont incompatibles : leur intersection est vide. Multiplier ou diviser une inéquation par un nombre négatif inverse son sens. Attention : une somme de contraintes est une conséquence, mais ne remplace pas forcément le système.

Résous \(-2x\le-6\), puis examine la perte d’information lors d’une addition.

flowchart LR
A[Contraintes] --> B[Demi espaces]
B --> C[Intersection]
C --> D[Points admissibles]
D --> E[Verifier chaque contrainte]

Erreurs fréquentes

Récapitulatif

Interprète chaque contrainte puis vérifie tout candidat dans le système entier.