Systèmes d’équations linéaires à deux inconnues

Résoudre un système de deux équations à deux inconnues, c'est trouver le couple \((x\,;\,y)\) qui vérifie les deux équations à la fois : graphiquement, c'est le point où deux droites se croisent.

Objectifs

Reconnaître un système linéaire de deux équations à deux inconnues et vérifier si un couple en est solution.
Interpréter un système comme deux droites et prévoir le nombre de solutions.
Utiliser le critère \(ab' - a'b \neq 0\).
Résoudre un système par substitution et par combinaison.
Mettre un problème concret en équations et le résoudre.

1. Qu'est-ce qu'un système ?

Un système de deux équations linéaires à deux inconnues s'écrit :

\[ \begin{cases} ax + by = c \\ a'x + b'y = c' \end{cases} \]

où \(a, b, c, a', b', c'\) sont des réels donnés. Une solution est un couple \((x\,;\,y)\) qui vérifie les deux équations en même temps.

Le couple \((1\,;\,4)\) est-il solution de \(\begin{cases} 2x + y = 6 \\ x + y = 4 \end{cases}\) ?

Oui, il vérifie la première équation
Non, il ne vérifie pas la deuxième
Oui, il vérifie les deux

\(2 \times 1 + 4 = 6\) : la première est vérifiée. Mais \(1 + 4 = 5 \neq 4\) : la deuxième ne l'est pas. Il faut les deux.

2. Interprétation graphique

Si \(b \neq 0\), l'équation \(ax + by = c\) est celle d'une droite. Résoudre le système revient à chercher les points communs aux deux droites. Trois cas sont possibles :

droites sécantes : une seule solution, le point d'intersection ;
droites parallèles distinctes : aucune solution ;
droites confondues : une infinité de solutions.

Manipule : les deux droites sont \(y = mx + p\) et \(y = nx + q\). Au départ, ce sont \(y = -x + 5\) et \(y = x - 1\) (le système \(x + y = 5\), \(x - y = 1\)) : elles se coupent en \((3\,;\,2)\). Donne à \(m\) et \(n\) la même valeur : que se passe-t-il ?

Combien de solutions a le système \(\begin{cases} 2x + 4y = 6 \\ x + 2y = 5 \end{cases}\) ?

Aucune
Une seule
Une infinité

\(ab' - a'b = 2 \times 2 - 1 \times 4 = 0\) : droites parallèles. La première équation divisée par 2 donne \(x + 2y = 3\), ce qui contredit \(x + 2y = 5\) : aucune solution.

3. Méthode par substitution

On exprime une inconnue en fonction de l'autre dans une équation (de préférence celle où un coefficient vaut 1 ou \(-1\)), puis on la remplace dans l'autre équation.

Exemple résolu : les prix du marché

On note \(x\) le prix d'un kilo de mangues et \(y\) celui d'un kilo de bananes, en F CFA :

\[ \begin{cases} 2x + 3y = 2\,100 \\ x + 2y = 1\,200 \end{cases} \]

Cherche d'abord, puis dévoile les étapes.

Critère : \(2 \times 2 - 1 \times 3 = 1 \neq 0\), il y a une unique solution.

Dans la deuxième équation : \(x = 1\,200 - 2y\).

On remplace dans la première : \(2(1\,200 - 2y) + 3y = 2\,100\), soit \(2\,400 - 4y + 3y = 2\,100\), donc \(-y = -300\) et \(y = 300\).

Puis \(x = 1\,200 - 2 \times 300 = 600\).

Vérification : \(2 \times 600 + 3 \times 300 = 2\,100\) et \(600 + 2 \times 300 = 1\,200\). Le kilo de mangues coûte 600 F CFA, celui de bananes 300 F CFA.

4. Méthode par combinaison

On multiplie les équations par des nombres bien choisis pour que les coefficients d'une inconnue soient opposés, puis on additionne membre à membre.

Exemple résolu

Résoudre \(\begin{cases} 3x + 2y = 12 \\ 5x - 2y = 4 \end{cases}\).

Voir la solution

Les coefficients de \(y\) sont déjà opposés (\(2\) et \(-2\)). On additionne :

\[ \begin{align} (3x + 2y) + (5x - 2y) &= 12 + 4 \\ 8x &= 16 \\ x &= 2 \end{align} \]

Dans la première équation : \(3 \times 2 + 2y = 12\), donc \(2y = 6\) et \(y = 3\).

Vérification : \(5 \times 2 - 2 \times 3 = 10 - 6 = 4\). La solution est \((2\,;\,3)\).

Exemple résolu : il faut multiplier d'abord

Résoudre \(\begin{cases} 2x + 3y = 8 \\ 3x + 2y = 7 \end{cases}\).

Voir la solution

On multiplie la première par 3 et la deuxième par 2 : \(6x + 9y = 24\) et \(6x + 4y = 14\).

On soustrait : \(5y = 10\), donc \(y = 2\). Puis \(2x + 6 = 8\), donc \(x = 1\).

Vérification : \(3 \times 1 + 2 \times 2 = 7\). La solution est \((1\,;\,2)\).

Quelle est la solution de \(\begin{cases} x + y = 10 \\ x - y = 4 \end{cases}\) ?

\((6\,;\,3)\)
\((4\,;\,6)\)
\((7\,;\,3)\)

En additionnant : \(2x = 14\), donc \(x = 7\), puis \(y = 10 - 7 = 3\). Vérification : \(7 - 3 = 4\).

5. Mettre un problème en équations

flowchart LR
A[Choisir les inconnues] --> B[Traduire en deux equations]
B --> C[Resoudre le systeme]
C --> D[Verifier]
D --> E[Conclure par une phrase]

Exemple : la sortie scolaire

Pour une sortie au parc national, une classe de Cotonou achète 35 billets. Un billet élève coûte 500 F CFA, un billet adulte 1 500 F CFA. La classe a payé 22 500 F CFA. Combien y avait-il d'élèves et d'adultes ? Cherche d'abord.

Inconnues : \(e\) le nombre d'élèves, \(a\) le nombre d'adultes.

Équations : \(e + a = 35\) (nombre de billets) et \(500e + 1\,500a = 22\,500\) (prix total).

On divise la deuxième par 500 : \(e + 3a = 45\). On soustrait la première : \(2a = 10\), donc \(a = 5\).

Puis \(e = 35 - 5 = 30\). Vérification : \(500 \times 30 + 1\,500 \times 5 = 15\,000 + 7\,500 = 22\,500\).

Conclusion : il y avait 30 élèves et 5 adultes.

6. Erreurs fréquentes

Pour quel système le critère \(ab' - a'b\) vaut-il 0 ?

\(\begin{cases} x + 2y = 1 \\ 2x + y = 1 \end{cases}\)
\(\begin{cases} 3x - y = 2 \\ 6x - 2y = 4 \end{cases}\)
\(\begin{cases} x + y = 1 \\ x - y = 1 \end{cases}\)

\(3 \times (-2) - 6 \times (-1) = -6 + 6 = 0\). Ici la deuxième équation est le double de la première : droites confondues, une infinité de solutions.

Récapitulatif

Une solution d'un système est un couple \((x\,;\,y)\) qui vérifie les deux équations.
Graphiquement : deux droites ; sécantes = une solution, parallèles distinctes = aucune, confondues = une infinité.
Unique solution \(\iff ab' - a'b \neq 0\).
Substitution : exprimer une inconnue, la remplacer dans l'autre équation.
Combinaison : rendre des coefficients opposés, additionner pour éliminer une inconnue.
Toujours vérifier, puis conclure avec les unités.

Solution d'un système

Couple \((x\,;\,y)\) qui vérifie les deux équations à la fois.

Critère d'unicité

\(ab' - a'b \neq 0\) : une unique solution (droites sécantes).

Droites parallèles

Distinctes : aucune solution ; confondues : une infinité.

Substitution

Exprimer une inconnue en fonction de l'autre, puis remplacer.

Combinaison

Multiplier puis additionner les équations pour éliminer une inconnue.