Éliminer les inconnues une à une permet de trouver et de vérifier les points communs des contraintes.

Systèmes linéaires à trois inconnues

Objectifs

Utiliser des opérations équivalentes.
Résoudre par élimination.
Distinguer solution unique, incompatibilité et infinité.

Trois inconnues, des contraintes simultanées

Un système linéaire à trois inconnues cherche des triplets \((x,y,z)\) vérifiant simultanément toutes ses équations. Chaque équation non dégénérée de la forme \(ax+by+cz=d\) représente un plan. Une solution est donc un point commun aux trois plans. On peut échanger des équations, multiplier une équation par un réel non nul ou ajouter à une équation un multiple d’une autre : ces opérations conservent les solutions.

flowchart LR
A[Systeme initial] --> B[Eliminer une inconnue]
B --> C[Eliminer dans les deux equations restantes]
C --> D[Remonter]
D --> E[Verifier toutes les equations]

Un triplet qui vérifie seulement deux équations est-il forcément solution du système ?

Il doit vérifier toutes les équations.

Éliminer puis remonter

Résous \[\begin{cases}x+y+z=6\\2x-y+z=3\\x+2y-z=2.\end{cases}\]

Voir la solution après avoir cherché

On remplace la deuxième ligne par \(L_2-2L_1\) et la troisième par \(L_3-L_1\) : \[-3y-z=-9,\qquad y-2z=-4.\]

On ajoute trois fois la nouvelle troisième équation à la deuxième : \(-7z=-21\), donc \(z=3\).

Puis \(y-6=-4\), donc \(y=2\). Enfin \(x+2+3=6\), donc \(x=1\).

Vérification dans les équations initiales : \(1+2+3=6\), \(2-2+3=3\), \(1+4-3=2\). La solution est \((1,2,3)\).

Quel résultat obtient-on après substitution de \((1,2,3)\) dans \(2x-y+z\) ?

\(2\times1-2+3=3\).

Reconnaître une contradiction ou un paramètre libre

Une ligne \(0=1\) est impossible : aucune solution. Une ligne \(0=0\) n’impose rien ; il faut continuer à examiner les autres équations. Si le système est compatible et qu’une inconnue reste libre, il existe une infinité de solutions.

Compare les contraintes \(x+y+z=6\), \(2x+2y+2z=12\), \(y-z=-1\).

Voir la solution après avoir cherché

La deuxième contrainte répète la première ; elle ne fournit pas une nouvelle information.

Posons \(z=t\), où \(t\in\mathbb R\). Alors \(y=t-1\).

La première équation donne \(x=7-2t\). Les solutions sont \((7-2t,t-1,t)\).

Géométriquement, les points communs forment ici une droite. En revanche, remplacer 12 par 13 dans la deuxième équation rendrait le système incompatible.

Une ligne nulle suffit-elle à affirmer qu’il y a une infinité de solutions ?

Oui, toujours
Non, une autre ligne peut être contradictoire

Il faut d’abord vérifier la compatibilité du système entier.

Erreurs fréquentes

Récapitulatif

L’élimination simplifie les contraintes sans changer leurs solutions ; la substitution finale contrôle le résultat.

Cartes mémo : cherche avant de retourner

Solution

Triplet \((x,y,z)\) qui satisfait toutes les équations.

Élimination

Annuler progressivement des coefficients par des opérations équivalentes.

Contradiction

Une égalité impossible telle que \(0=1\).

Paramètre libre

Variable réelle qui décrit une famille de solutions.

Géométrie

Solutions : points communs aux plans des équations non dégénérées.