Objectifs

• Calculer le taux de variation d'une fonction entre deux réels et l'interpréter comme la pente d'une sécante.
• Définir le nombre dérivé \(f'(a)\) comme la limite du taux de variation quand \(h\) tend vers 0.
• Calculer un nombre dérivé par la définition.
• Écrire l'équation de la tangente à une courbe en un point.

1. Le taux de variation

Définition

Soit \(f\) une fonction définie sur un intervalle \(I\), et \(a\), \(b\) deux réels distincts de \(I\). Le taux de variation de \(f\) entre \(a\) et \(b\) est :

En posant \(b = a + h\) (avec \(h \neq 0\)), il s'écrit :

Interprétation graphique

Si \(A(a\,;f(a))\) et \(M(a+h\,;f(a+h))\) sont deux points de la courbe \(\mathcal{C}_f\), le taux de variation est la pente de la sécante \((AM)\).

Exemple résolu 1

Soit \(f(x) = x^2\). Calcule le taux de variation de \(f\) entre \(1\) et \(1 + h\). Cherche d'abord.

2. Le nombre dérivé

Définition

On dit que \(f\) est dérivable en \(a\) si le taux de variation \(\tau(h)\) tend vers un nombre réel \(\ell\) quand \(h\) tend vers 0. Ce nombre est le nombre dérivé de \(f\) en \(a\), noté \(f'(a)\) :

Observe la parabole \(y = x^2\), la sécante passant par les points d'abscisses \(a\) et \(a + h\), et la tangente en \(a\). Fais tendre \(h\) vers 0 : la sécante se rapproche de la tangente.

flowchart LR
A[Calculer f de a plus h] --> B[Former le taux de variation]
B --> C[Simplifier par h]
C --> D[Faire tendre h vers 0]
D --> E[Limite = nombre derive]

Exemple résolu 2 : le nombre dérivé de \(x^2\) en 1

D'après l'exemple 1, \(\tau(h) = 2 + h\). Quand \(h\) tend vers 0, \(2 + h\) tend vers \(2\).

Exemple résolu 3 : la fonction inverse en 2

Soit \(f(x) = \dfrac{1}{x}\). Calcule \(f'(2)\) à l'aide de la définition.

Une fonction non dérivable

Pour \(f(x) = |x|\) en \(0\) : \(\tau(h) = \dfrac{|h|}{h}\) vaut \(1\) si \(h > 0\) et \(-1\) si \(h < 0\). Le taux ne s'approche d'aucun nombre unique : \(f\) n'est pas dérivable en 0 (la courbe y forme un « coin »).

3. La tangente à une courbe

Définition et équation

Si \(f\) est dérivable en \(a\), la tangente à \(\mathcal{C}_f\) au point \(A(a\,;f(a))\) est la droite qui passe par \(A\) et dont la pente est \(f'(a)\). Son équation est :

Exemple résolu 4

Donne l'équation de la tangente à la courbe de \(f(x) = x^2\) au point d'abscisse 1, puis celle de la tangente à la courbe de \(g(x) = \dfrac{1}{x}\) au point d'abscisse 2.

Lecture graphique

Sur un graphique, \(f'(a)\) se lit comme la pente de la tangente : depuis un point de la tangente, on avance de 1 vers la droite et on regarde de combien on monte (ou descend). Une tangente horizontale signifie \(f'(a) = 0\).

Erreurs fréquentes

• Remplacer \(h\) par 0 avant d'avoir simplifié.
• Confondre \(f(a)\) (une ordonnée) et \(f'(a)\) (une pente).
• Oublier \(+ f(a)\) dans l'équation de la tangente, ou écrire \((x + a)\) au lieu de \((x - a)\).
• Croire que toute fonction est dérivable partout (contre-exemple : \(|x|\) en 0).

Récapitulatif

• Taux de variation entre \(a\) et \(a+h\) : \(\dfrac{f(a+h) - f(a)}{h}\), pente de la sécante.
• Nombre dérivé : \(f'(a) = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{f(a+h) - f(a)}{h}\), s'il existe et est réel.
• Tangente en \(a\) : \(y = f'(a)(x - a) + f(a)\).
• Exemples : pour \(x^2\), \(f'(1) = 2\) ; pour \(\dfrac{1}{x}\), \(f'(2) = -\dfrac{1}{4}\).