Testez l\'égalité — Propriétés d\'égalité

Objectifs

Comprendre les propriétés fondamentales de l\'égalité: réflexivité, symétrie et transitivité.
Voir comment on peut conserver l\'égalité en ajoutant ou en soustrayant le même nombre des deux côtés.
Voir comment on peut multiplier ou diviser les deux côtés par un même nombre non nul et quand cela est possible.

Les propriétés essentielles et les règles de manipulation sont les suivantes :

Ajout ou soustraction du même nombre des deux côtés: si \(a=b\), alors \(a+c=b+c\) et \(a-c=b-c\).
Multiplication ou division par le même nombre non nul: si \(a=b\), alors \(k\cdot a = k\cdot b\) et, si \(k\neq 0\), \(\frac{a}{k}=\frac{b}{k}\).

Deux segments marqués comme égaux pour illustrer l\'idée d\'égalité.

Si \(a=b\), que peut-on déduire ?

Réponse: la deuxième affirmation est correcte, car ajouter le même nombre conserve l\'égalité lorsque l\'opération est appliquée des deux côtés.

Exemple 1: Ajouter le même nombre des deux côtés.

Voir la solution

Énoncé: Si \(a=b\) et on ajoute \(c\) des deux côtés, on obtient \(a+c=b+c\).

Etapes: \[a=b \\Rightarrow a+c=b+c\]

Exemple 2: Multiplier par un même nombre positif.

Voir la solution

Énoncé: Si \(a=b\) et \(k>0\), alors \(k\cdot a = k\cdot b\).

Etapes: \begin{align} a &= b \\ \\ k\cdot a &= k\cdot b \end{align}

Que dit la propriété lorsque l\'on multiplie par le même nombre positif ?

Explication: multiplier les deux côtés par le même nombre non nul conserve l\'égalité.

Oublier que les règles de manipulation s\'appliquent à deux côtés et non à un seul.
Multiplier ou diviser par un nombre nul: illégal pour déduire une égalité.
PensER que l\'égalité se transforme sans justification.

Quelle erreur est fréquente lorsqu\'on manipule une égalité ?

Réponse: la deuxième proposition est une erreur fréquente, car elle casse l\'égalité.

Réflexivité: \(a=a\).
Symétrie: \(a=b \Rightarrow b=a\).
Transitivité: \(a=b\) et \(b=c\Rightarrow a=c\).
Ajout/soustraction du même nombre: \(a=b \Rightarrow a+c=b+c\) et \(a-c=b-c\).
Multiplication/division par le même nombre non nul: \(a=b \Rightarrow k\cdot a = k\cdot b\) et \(\dfrac{a}{k}=\dfrac{b}{k}\) si \(k\neq 0\).

Réflexivité

Pour tout a, \(a=a\).

Symétrie

Si \(a=b\), alors \(b=a\).

Transitivité

Si \(a=b\) et \(b=c\), alors \(a=c\).