Thème 1 : Fonctions linéaires

Introduction

Une fonction linéaire est une fonction qui peut s’écrire sous la forme d’une droite dans un graphique. Elle est très utilisée en mathématiques pour modéliser des relations proportionnelles.

Définition

Une fonction \(f\) de la forme \(f(x) = ax + b\) où \(a\) et \(b\) sont des nombres réels, avec \(a eq 0\), est appelée une fonction linéaire affinement affine.

Caractéristiques

• Coefficiant directeur : \(a\), indique la pente de la droite. Plus \(a\) est grand, plus la fonction monte rapidement.
• Ordonnée à l'origine : \(b\), c'est le point où la droite coupe l'axe \(y\).

Représentation graphique

La représentation graphique d'une fonction \(f(x) = ax + b\) est une droite. En connaissant deux points, on peut la tracer. Par exemple, si \(x=0\), alors \(f(0) = b\).

Exemple

Soit la fonction \(f(x) = 2x + 3\).

• Le graphique passe par le point \((0,3)\).
• Pour \(x=1\), \(f(1) = 2 imes 1 + 3 = 5\), donc le point \((1,5)\).
• Pour \(x=-1\), \(f(-1) = 2 imes (-1) + 3 = 1\), donc le point \((-1,1)\).

Calculer la valeur de la fonction

Pour connaître la valeur de \(f(x)\), il suffit de remplacer \(x\) dans la formule. Par exemple, avec \(f(x) = 2x + 3\), pour \(x=4\), alors \(f(4) = 2 imes 4 + 3 = 11\).

Propriétés

• La période n' existe pas, la droite continue sans boucle.
• Une fonction linéaire est définie sur tout \(\mathbb{R}\).
• Elle est croissante si \(a>0\) et décroissante si \(a<0\).

Résumé

Les fonctions linéaires sont simples à utiliser et à représenter, elles sont fondamentales pour comprendre les autres types de fonctions.