Introduction

Une fonction linéaire est une fonction qui représente une droite dans un plan. Elle est souvent utilisée pour modéliser des situations où une quantité varie de façon proportionnelle à une autre.

Définition

Une fonction linéaire est une fonction \(f\) définie par :
\[ f(x) = ax + b \] où :

• \(a\) est la pente de la droite, qui indique son inclination
• \(b\) est l'ordonnée à l'origine, c'est-à-dire le point où la droite coupe l'axe des ordonnées (l'axe vertical)

Représentation graphique

Le graphique d'une fonction \(f(x) = ax + b\) est une droite. Pour la tracer :

1. Choisir deux valeurs de \(x\) (par exemple \(x=0\) et \(x=1\))
2. Calculer \(f(x)\) pour ces valeurs
3. Tracer les points correspondants sur le graphique
4. Relier ces points par une droite

Exemple : si \(f(x) = 2x + 3\), alors :

• pour \(x=0\), \(f(0) = 3\)
• pour \(x=1\), \(f(1) = 2 imes 1 + 3 = 5\)

Les points (0,3) et (1,5) permettent de tracer la droite.

Étude de la fonction

Pour analyser une fonction \(f(x) = ax + b\) :

• La pente \(a\) indique si la droite monte (\(a>0\)) ou descend (\(a<0\)).
• L'ordonnée à l'origine \(b\) indique où la droite coupe l'axe des \(y\).

Exemple : si \(f(x) = -x + 4\), la droite descend, coupe l'axe des ordonnées en (0,4), et passe par des points comme (1,3) ou (-1,5).

Résumé

Une fonction linéaire se caractérise par son graphique en droite et par sa formule \(f(x) = ax + b\). La pente \(a\) et l'ordonnée à l'origine \(b\) permettent de la définir complètement.