Introduction

La trigonométrie est une branche des mathématiques qui étudie les relations entre les angles et les longueurs dans un triangle rectangle.

Les éléments d'un triangle rectangle

• Hypoténuse : le côté le plus long, face à l'angle droit.
• Catètes : les deux côtés perpendiculaires à l'angle droit.

Les fonctions trigonométriques

Pour un angle aigu \( heta \) dans un triangle rectangle :

• Sinus : \( \sin heta = rac{ ext{côté opposé}}{ ext{hypoténuse}} \)
• Cosinus : \( \cos heta = rac{ ext{côté adjacent}}{ ext{hypoténuse}} \)
• Tangente : \( an heta = rac{ ext{côté opposé}}{ ext{côté adjacent}} \)

Utilisation des fonctions trigonométriques

Pour calculer une longueur ou un angle dans un triangle rectangle :

• On connaît deux éléments : on calcule le troisième en utilisant les formules ci-dessus.
• Par exemple, si on connaît un angle et une longueur, on peut déterminer une autre longueur :

Exemple : si \( heta \) est un angle et que la longueur de l'hypoténuse est \( h \), alors :

• côté opposé : \( a = h imes \sin heta \)
• côté adjacent : \( b = h imes \cos heta \)

Exemples d'application

1. Calculer la longueur du côté opposé si \( h = 10\, ext{cm} \) et \( heta = 30^\circ \).

On a : \( a = 10 imes \sin 30^\circ = 10 imes rac{1}{2} = 5\, ext{cm} \).

2. Déterminer l'angle \( heta \) si \( a = 4\, ext{cm} \) et \( h = 10\, ext{cm} \).

On calcule : \( \sin heta = rac{a}{h} = rac{4}{10} = 0.4 \), donc \( heta = \sin^{-1} 0.4 pprox 23.58^\circ \).

Résumé

- La trigonométrie permet de relier angles et longueurs dans un triangle rectangle.

- Les fonctions sinus, cosinus, et tangente sont fondamentales pour résoudre des problèmes.

- Les calculs s'effectuent principalement à l'aide de rapport entre longueurs.