Trigonométrie - Niveau 3ème

La trigonométrie est une branche des mathématiques qui étudie les relations entre les longueurs et les angles dans les triangles.

1. Qu'est-ce qu'un triangle rectangle ?

Un triangle rectangle est un triangle qui possède un angle droit (qui mesure 90°). La longueur du côté face à cet angle droit s'appelé l'hypoténuse, et les deux autres côtés s'appelent les catètes.

2. Les fonctions trigonométriques de base

Dans un triangle rectangle, pour un angle aigu \( heta\), on définit :

• Sinus (\(\sin heta\)) : le rapport entre la longueur de la catète opposée à l'angle \( heta\) et l'hypoténuse :

\[ \sin heta = rac{ ext{catéte opposée}}{ ext{hypoténuse}} \]

• Cosinus (\(\cos heta\)) : le rapport entre la longueur de la catète adjacente à l'angle \( heta\) et l'hypoténuse :

\[ \cos heta = rac{ ext{catéte adjacente}}{ ext{hypoténuse}} \]

• Tangente (\( an heta\)) : le rapport entre la catète opposée et la catète adjacente :

\[ an heta = rac{ ext{catéte opposée}}{ ext{catéte adjacente}} \]

3. Utilisation des fonctions trigonométriques

Ces fonctions permettent de calculer des longueurs ou des angles dans un triangle. Par exemple, si vous connaissez deux côtés, vous pouvez déterminer l'angle grâce au sinus, cosinus ou tangente.

4. Le cercle trigonométrique

Le cercle trigonométrique est un cercle de rayon 1. Il sert à représenter toutes les valeurs possibles des fonctions trigonométriques en fonction de l'angle \( heta\), compris entre 0° et 360°.

5. Résumé

• Les fonctions \(\sin\), \(\cos\), \( an\) relient angles et longueurs dans un triangle rectangle.
• On peut les utiliser pour résoudre des problèmes de géométrie ou de mesures.
• Le cercle trigonométrique aide à visualiser ces fonctions en continu.

6. Exemple simple

Dans un triangle rectangle, si l'on connaît un angle \( heta = 30^\circ\) et l'hypoténuse est de 10 cm, on peut calculer la longueur de la catète opposée :

\[ \sin 30^\circ = rac{ ext{catéte opposée}}{10} \]

Sachant que \(\sin 30^\circ = rac{1}{2}\), on obtient :

\[ rac{1}{2} = rac{ ext{catéte opposée}}{10} \]

Donc : \[ ext{catéte opposée} = 10 imes rac{1}{2} = 5 ext{ cm} \]