Théorème de Pythagore : applications concrètes
Théorème de Pythagore : applications concrètes
Dès qu'un angle droit se cache dans une situation (un mur et le sol, un trajet vers l'est puis vers le nord, un poteau et son câble), le théorème de Pythagore permet de calculer une longueur qu'on ne peut pas mesurer directement.
Objectifs
- Repérer un triangle rectangle caché dans une situation de la vie courante.
- Calculer une longueur inconnue avec le théorème de Pythagore (hypoténuse ou côté de l'angle droit).
- Utiliser la réciproque pour vérifier qu'un angle est droit, comme le font les maçons.
- Résoudre des problèmes d'architecture, de navigation et d'ingénierie, en donnant une valeur exacte ou arrondie avec l'unité.
1. Rappel : le théorème et sa réciproque
Notions clés
Théorème de Pythagore. Si le triangle \(ABC\) est rectangle en \(A\), alors le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés :
\[BC^2 = AB^2 + AC^2.\]L'hypoténuse est le côté opposé à l'angle droit ; c'est toujours le plus long côté du triangle.
Réciproque. Si, dans un triangle \(ABC\), on a \(BC^2 = AB^2 + AC^2\), alors ce triangle est rectangle en \(A\). Si l'égalité est fausse, le triangle n'est pas rectangle.
Pour bien utiliser le théorème, il faut d'abord reconnaître les parties du triangle rectangle. Place les étiquettes sur cette échelle appuyée contre un mur.
Le triangle \(RST\) est rectangle en \(S\). Quelle égalité est vraie ?
2. En architecture et dans le bâtiment
L'échelle contre le mur
Exemple 1. Une échelle de 5 m est appuyée contre un mur vertical. Son pied est à 1,4 m du mur. À quelle hauteur arrive le haut de l'échelle ? Cherche d'abord.
Avec le graphique, observe la hauteur atteinte par une échelle de longueur \(L\) selon la distance \(x\) entre son pied et le mur : \(h = \sqrt{L^2 - x^2}\). Plus on éloigne le pied, plus l'échelle descend.
La longueur des chevrons d'un toit
Exemple 2. Une maison mesure 8 m de large. Le sommet du toit (le faîte) est 3 m au-dessus du haut des murs, juste au milieu. Quelle est la longueur d'un chevron (pièce de bois qui va du haut du mur au faîte) ? Dévoile la figure étape par étape.
Le toit forme un triangle au-dessus des murs : chaque pente porte un chevron.
La hauteur issue du faîte tombe au milieu de la largeur et forme un angle droit : on obtient deux triangles rectangles identiques.
Dans chaque triangle, les côtés de l'angle droit mesurent 4 m (moitié de 8 m) et 3 m ; le chevron est l'hypoténuse : \(\sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5\) m.
La méthode 3-4-5 du maçon (réciproque)
En effet, \(60^2 + 80^2 = 3\,600 + 6\,400 = 10\,000 = 100^2\) : d'après la réciproque du théorème de Pythagore, l'angle est droit.
Un maçon mesure 0,9 m sur un mur, 1,2 m sur l'autre et trouve une diagonale de 1,6 m. L'angle entre les murs est-il droit ?
3. En navigation
Exemple 3. Calculer la distance à vol d'oiseau entre Kodjo et le débarcadère. Cherche d'abord.
Voir la solution
Le trajet est (6 km) et le trajet nord (8 km) sont les côtés de l'angle droit ; la distance cherchée \(d\) est l'hypoténuse :
\[d^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100, \quad \text{donc} \quad d = \sqrt{100} = 10 \text{ km}.\]Kodjo a pagayé 14 km, mais il n'est qu'à 10 km du débarcadère.
Exemple 4. Depuis un phare, on repère un bateau situé 12 km plus au sud et 5 km plus à l'est. À quelle distance du phare se trouve-t-il ?
Un drone vole 9 km vers le nord puis 12 km vers l'ouest. À quelle distance est-il de son point de départ ?
4. En ingénierie et dans la vie quotidienne
Exemple 5. Un hauban est fixé à 12 m de hauteur sur un pylône vertical et ancré au sol à 5 m du pied du pylône. Quelle est sa longueur ?
Exemple 6. Une rampe d'accès pour fauteuil roulant monte de 0,5 m sur une distance horizontale de 6 m. Quelle est la longueur de la rampe, arrondie au centimètre ? Cherche d'abord.
Voir la solution
\[\ell^2 = 6^2 + 0{,}5^2 = 36 + 0{,}25 = 36{,}25, \quad \text{donc} \quad \ell = \sqrt{36{,}25} \approx 6{,}02 \text{ m}.\]La valeur exacte est \(\sqrt{36{,}25}\) m ; l'arrondi au centimètre est 6,02 m.
Exemple 7. L'écran d'un téléphone mesure 9 cm de large et 12 cm de haut. La « taille » d'un écran se donne par sa diagonale. Combien mesure-t-elle ?
Voir la solution
Les bords d'un écran rectangulaire forment un angle droit : \(D^2 = 9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225\), donc \(D = 15\) cm.
Un terrain de football rectangulaire mesure 100 m sur 60 m. Quelle est la longueur de sa diagonale, arrondie au dixième ?
La méthode en 4 étapes
flowchart LR A[Repérer le triangle rectangle] --> B[Identifier son hypoténuse] B --> C[Écrire Pythagore] C --> D[Calculer et conclure avec unité]
Erreurs fréquentes
- Utiliser Pythagore sans avoir justifié l'angle droit (mur vertical et sol horizontal, directions nord et est…).
- Se tromper d'hypoténuse : c'est toujours le côté opposé à l'angle droit, le plus long.
- Additionner au lieu de soustraire quand on cherche un côté de l'angle droit : \(h^2 = 5^2 - 1{,}4^2\), pas \(5^2 + 1{,}4^2\).
- Oublier la racine carrée à la fin, ou oublier l'unité.
- Conclure « l'angle est droit » quand l'égalité est fausse : dans ce cas, l'angle n'est pas droit.
Récapitulatif
- Triangle rectangle en \(A\) : \(BC^2 = AB^2 + AC^2\), avec \([BC]\) l'hypoténuse.
- Hypoténuse : on additionne les carrés. Côté de l'angle droit : on soustrait.
- Réciproque : si l'égalité est vraie, le triangle est rectangle (méthode 3-4-5 du maçon).
- Architecture (échelle, toit), navigation (distance à vol d'oiseau), ingénierie (câbles, rampes, écrans) : on cherche l'angle droit caché.
Teste tes connaissances sur ce cours
Crée ton compte gratuitement pour accéder aux quiz associés et suivre ta progression.