Théorème de Pythagore et Trigonométrie

1. Le Théorème de Pythagore

Le théorème de Pythagore concerne les triangles rectangles. C'est comme une recette pour calculer la longueur d'un côté quand on connaît les deux autres.

Dans un triangle rectangle, si l'hypoténuse (le plus long côté face à l'angle droit) s'appelle \( c \), et les autres côtés \( a \) et \( b \), alors :

Formule :

\[ c^2 = a^2 + b^2 \]

Cette formule permet de calculer la longueur de l'hypoténuse si on connaît les deux autres côtés, ou d'un côté si on connaît l'hypoténuse et l'autre côté.

Exemple :

Un triangle rectangle a côtés de 3 cm et 4 cm. Quelle est la longueur de l'hypoténuse ?

On pose :

\[ c^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 \]

Donc :

\[ c = \sqrt{25} = 5 ext{ cm} \]

2. La trigonométrie dans un triangle rectangle

La trigonométrie permet de relier les angles et les côtés d'un triangle rectangle.

On définit trois fonctions principales :

• Sinus (\(\sin\)) : le rapport entre le côté opposé à un angle et l'hypoténuse
• Cosinus (\(\cos\)) : le rapport entre le côté adjacent à l'angle et l'hypoténuse
• Tangente (\( an\)) : le rapport entre le côté opposé et le côté adjacent

Formules :

- Pour un angle \( heta \),

\[ \sin heta = rac{ ext{côté opposé}}{ ext{hypoténuse}} \]

\[ \cos heta = rac{ ext{côté adjacent}}{ ext{hypoténuse}} \]

\[ an heta = rac{ ext{côté opposé}}{ ext{côté adjacent}} \]

Exemple :

Dans un triangle rectangle, si un angle est de 30°, et que le côté adjacent mesure 5 cm, alors :

\[ \cos 30^\circ = rac{ ext{adjacent}}{ ext{hypoténuse}} \]

\[ ext{hypoténuse} = rac{ ext{adjacent}}{\cos 30^\circ} = rac{5}{\cos 30^\circ} \]

Sachant que :

\[ \cos 30^\circ = rac{\sqrt{3}}{2} pprox 0,866 \]

\[ ext{hypoténuse} pprox rac{5}{0,866} pprox 5,77 ext{ cm} \]

Résumé

• Le théorème de Pythagore sert pour calculer un côté d'un triangle rectangle avec deux autres.
• La trigonométrie relie angles et côtés via sin, cos, tan.
• Ces outils sont très utiles pour résoudre des problèmes en géométrie et en physique.