Le théorème de Pythagore

Introduction

Imagine un triangle spécial appelé triangle rectangle. C'est un triangle où un angle est droit, c'est-à-dire égal à 90°. Si tu connais la longueur des deux côtés qui forment cet angle droit, tu peux trouver la longueur du plus grand côté, celui qui est en face de l'angle droit, appelé hypothénuse.

Les côtés d'un triangle rectangle

• \Les côtés qui forment l'angle droit : nommés catètes. Notons-les \(a\) et \(b\).
• \Le côté en face de l'angle droit : nommé hypothénuse, notée \(c\).

Le théorème de Pythagore

Ce théorème relie la longueur de ces trois côtés :
Dans un triangle rectangle, le carré de la longueur de l'hypothénuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés.

En formule, cela s'écrit :

$\[ c^2 = a^2 + b^2 \]$

Utilisation du théorème

Si tu connais les longueurs de deux côtés, tu peux calculer la troisième. Par exemple :

• Pour trouver la longueur de l'hypothénuse \(c\) si tu connais \(a\) et \(b\) :
  \( c = \sqrt{a^2 + b^2} \)
• Pour trouver une catète, par exemple \(a\), si tu connais \(b\) et \(c\) :
  \( a = \sqrt{c^2 - b^2} \)

Exemple

Un triangle rectangle a une catète de 3 cm et l'hypothénuse mesure 5 cm. Quelle est la longueur de l'autre catète ?

On utilise la formule :
\[ b = \sqrt{c^2 - a^2} \]

en remplaçant par les valeurs :
\[ b = \sqrt{5^2 - 3^2} = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4 \]

Donc, l'autre catète mesure 4 cm.

Résumé

• Le théorème de Pythagore concerne les triangles rectangles.
• Il permet de relier la longueur des côtés par la formule : \( c^2 = a^2 + b^2 \).
• Il est pratique pour calculer une longueur inconnue quand on connaît les deux autres.