Preuve du théorème de Pythagore

Introduction

Le théorème de Pythagore concerne les triangles rectangles. Il affirme que dans un triangle rectangle, le carré de la longueur de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés.

Énoncé du théorème

Si ABC est un triangle rectangle en C, alors :

\[ AB^2 = AC^2 + BC^2 \]

Preuve par la méthode de la dissection

1. Considérons un carré de côté \( (AC + BC) \), où l'on inscrit quatre triangles rectangles identiques de côtés \( AC \) et \( BC \), et un petit carré au centre.
2. Chacun de ces triangles a pour côtés \( AC \), \( BC \), et l'hypoténuse \( AB \).
3. En assemblant ces quatre triangles autour du petit carré, on forme un grand carré dont la aire est :

   \[ (AC + BC)^2 \]

4. Cette aire peut aussi s'écrire comme la somme des aires des quatre triangles plus l'aire du carré central :

5. \[ 4 imes rac{1}{2} imes AC imes BC + AB^2 \]

6. Or, en développant, on a :

\[ (AC + BC)^2 = AC^2 + 2 AC BC + BC^2 \]

7. Cette égalité est aussi égale à :

\[ 2 AC BC + AB^2 \]

8. En égalant ces deux expressions, et simplifiant, on obtient :

\[ AB^2 = AC^2 + BC^2 \]

Conclusion

Cette preuve géométrique montre que le carré de l'hypoténuse est bien égal à la somme des carrés des deux autres côtés dans un triangle rectangle. Ce résultat est fondamental en géométrie.