Théorèmes de Pythagore et de Thalès

Pythagore relie les trois côtés d'un triangle rectangle ; Thalès relie les longueurs de deux triangles « emboîtés » quand deux droites sont parallèles : avec eux, on calcule des longueurs qu'on ne peut pas mesurer directement.

Objectifs

Calculer la longueur d'un côté d'un triangle rectangle avec le théorème de Pythagore.
Démontrer qu'un triangle est rectangle (réciproque) ou qu'il ne l'est pas (contraposée).
Reconnaître une configuration de Thalès et calculer des longueurs avec l'égalité des rapports.
Démontrer que deux droites sont parallèles (réciproque de Thalès) ou ne le sont pas.
Rédiger une démonstration : données, propriété utilisée, conclusion.

1. Le théorème de Pythagore

Notions clés

Dans un triangle rectangle, le côté opposé à l'angle droit s'appelle l'hypoténuse : c'est toujours le plus long côté. Les deux autres côtés sont les côtés de l'angle droit.

Repère les parties d'un triangle \(ABC\) rectangle en \(A\) : place chaque nom au bon endroit.

Exemple résolu 1 : calculer l'hypoténuse

Le triangle \(ABC\) est rectangle en \(A\) avec \(AB = 6\) cm et \(AC = 8\) cm. Calcule \(BC\).

Données : le triangle \(ABC\) est rectangle en \(A\), donc son hypoténuse est \([BC]\).

D'après le théorème de Pythagore : \[ BC^2 = AB^2 + AC^2 \]

On remplace : \[ BC^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 \]

\(BC\) est une longueur, donc positive : \[ BC = \sqrt{100} = 10 \text{ cm} \]

Exemple résolu 2 : calculer un côté de l'angle droit

Le triangle \(EFG\) est rectangle en \(F\), avec \(EG = 13\) cm et \(EF = 5\) cm. Calcule \(FG\). Cherche d'abord, puis vérifie.

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L'hypoténuse est \([EG]\) (opposée à l'angle droit en \(F\)). D'après le théorème de Pythagore :

\[ \begin{align} EG^2 &= EF^2 + FG^2 \\ 13^2 &= 5^2 + FG^2 \\ FG^2 &= 169 - 25 = 144 \\ FG &= \sqrt{144} = 12 \text{ cm} \end{align} \]

Retour à l'échelle de Moussa

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Le mur est perpendiculaire au sol : le triangle est rectangle et l'échelle en est l'hypoténuse. Notons \(L\) sa longueur :

\[ L^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 \quad \text{donc} \quad L = \sqrt{25} = 5 \text{ m} \]

Le triangle \(RST\) est rectangle en \(S\). Quelle égalité est vraie ?

\(RS^2 = ST^2 + RT^2\)
\(ST^2 = RS^2 + RT^2\)
\(RT^2 = RS^2 + ST^2\)

L'angle droit est en \(S\), donc l'hypoténuse est le côté opposé \([RT]\) : c'est son carré qui est égal à la somme des deux autres.

Un triangle est rectangle ; ses côtés de l'angle droit mesurent 9 cm et 12 cm. Combien mesure l'hypoténuse ?

15 cm
21 cm
225 cm

\(9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225\) et \(\sqrt{225} = 15\). Attention : 225 est le carré de l'hypoténuse, pas sa longueur.

2. Réciproque et contraposée de Pythagore

La méthode : on calcule séparément le carré du plus long côté et la somme des carrés des deux autres, puis on compare.

flowchart LR
A[Repérer le plus long côté] --> B[Calculer son carré]
A --> C[Calculer la somme des deux autres carrés]
B --> D{Égaux ?}
C --> D
D -->|Oui| E[Rectangle : réciproque]
D -->|Non| F[Pas rectangle : contraposée]

Exemple résolu 3 : le triangle est-il rectangle ?

Le triangle \(KLM\) a pour côtés \(KL = 9\) cm, \(LM = 15\) cm et \(KM = 12\) cm.

Le plus long côté est \([LM]\).

D'une part : \(LM^2 = 15^2 = 225\).

D'autre part : \(KL^2 + KM^2 = 9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225\).

On constate que \(LM^2 = KL^2 + KM^2\). D'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle \(KLM\) est rectangle en \(K\).

Exemple résolu 4 : et celui-ci ?

Le triangle \(PQR\) a pour côtés \(PQ = 5\) cm, \(QR = 8\) cm et \(PR = 6\) cm. Cherche d'abord.

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Le plus long côté est \([QR]\). D'une part \(QR^2 = 64\) ; d'autre part \(PQ^2 + PR^2 = 25 + 36 = 61\). Comme \(64 \neq 61\), d'après la contraposée du théorème de Pythagore, le triangle \(PQR\) n'est pas rectangle.

Un triangle a des côtés de 6 cm, 7 cm et 10 cm. Est-il rectangle ?

Oui, d'après la réciproque de Pythagore
Non, d'après la contraposée de Pythagore
On ne peut pas savoir

\(10^2 = 100\) mais \(6^2 + 7^2 = 36 + 49 = 85\). Les deux résultats sont différents, donc le triangle n'est pas rectangle.

3. Le théorème de Thalès

Notions clés

On a une configuration de Thalès quand deux droites \((BM)\) et \((CN)\) se coupent en un point \(A\), et que les droites \((MN)\) et \((BC)\) sont parallèles. On obtient deux triangles \(AMN\) et \(ABC\) : l'un est un agrandissement (ou une réduction) de l'autre.

Suis la figure étape par étape :

On place \(M\) sur \([AB]\) et \(N\) sur \([AC]\) de sorte que \((MN)\) soit parallèle à \((BC)\).

Le petit triangle \(AMN\) est une réduction du grand triangle \(ABC\) : mêmes angles, côtés proportionnels.

Les côtés qui se correspondent sont donc dans le même rapport : c'est l'égalité de Thalès.

Le théorème marche aussi dans la configuration « papillon » : \(M\) et \(N\) sont de l'autre côté du point \(A\) (les deux triangles se touchent par le sommet \(A\)). L'égalité des rapports s'écrit de la même façon.

Exemple résolu 5 : calculer deux longueurs

Dans le triangle \(ABC\), \(M \in [AB]\), \(N \in [AC]\) et \((MN) \parallel (BC)\). On sait que \(AM = 3\) cm, \(AB = 5\) cm, \(AC = 7{,}5\) cm et \(BC = 6\) cm. Calcule \(AN\) et \(MN\).

Les droites \((BM)\) et \((CN)\) sont sécantes en \(A\) et \((MN) \parallel (BC)\). D'après le théorème de Thalès : \[ \frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC} = \frac{MN}{BC} \]

On remplace par les valeurs connues : \[ \frac{3}{5} = \frac{AN}{7{,}5} = \frac{MN}{6} \]

Produit en croix pour \(AN\) : \[ AN = \frac{3 \times 7{,}5}{5} = \frac{22{,}5}{5} = 4{,}5 \text{ cm} \]

Produit en croix pour \(MN\) : \[ MN = \frac{3 \times 6}{5} = \frac{18}{5} = 3{,}6 \text{ cm} \]

Retour au baobab d'Awa

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Le bâton et le baobab sont verticaux, donc parallèles ; les rayons du soleil sont parallèles. Les ombres et les hauteurs sont proportionnelles (Thalès) :

\[ \frac{h}{1{,}5} = \frac{12}{2} \quad \text{donc} \quad h = \frac{1{,}5 \times 12}{2} = 9 \text{ m} \]

Le baobab mesure environ 9 m de haut.

Avec \((MN) \parallel (BC)\), \(AM = 2\), \(AB = 8\) et \(BC = 12\), combien vaut \(MN\) ?

\(\frac{MN}{12} = \frac{2}{8}\), donc \(MN = \frac{2 \times 12}{8} = 3\). Le petit triangle est 4 fois plus petit que le grand.

4. Réciproque de Thalès : prouver un parallélisme

Si les rapports \(\frac{AM}{AB}\) et \(\frac{AN}{AC}\) sont différents, alors les droites \((MN)\) et \((BC)\) ne sont pas parallèles (conséquence du théorème de Thalès).

Exemple résolu 6

Les points \(A, M, B\) et \(A, N, C\) sont alignés dans cet ordre. \(AM = 2\) cm, \(AB = 5\) cm, \(AN = 3\) cm, \(AC = 7{,}5\) cm. Les droites \((MN)\) et \((BC)\) sont-elles parallèles ?

D'une part : \(\frac{AM}{AB} = \frac{2}{5} = 0{,}4\).

D'autre part : \(\frac{AN}{AC} = \frac{3}{7{,}5} = 0{,}4\).

Les rapports sont égaux et les points sont alignés dans le même ordre. D'après la réciproque du théorème de Thalès, \((MN) \parallel (BC)\).

Et si \(AC\) valait 8 cm ? Cherche d'abord.

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\(\frac{AN}{AC} = \frac{3}{8} = 0{,}375\) alors que \(\frac{AM}{AB} = 0{,}4\). Les rapports sont différents : les droites \((MN)\) et \((BC)\) ne sont pas parallèles.

\(A, E, F\) et \(A, G, H\) sont alignés dans cet ordre. \(AE = 4\), \(AF = 10\), \(AG = 6\), \(AH = 15\). Que peut-on dire de \((EG)\) et \((FH)\) ?

Elles sont parallèles
Elles ne sont pas parallèles
Elles sont perpendiculaires

\(\frac{4}{10} = 0{,}4\) et \(\frac{6}{15} = 0{,}4\) : les rapports sont égaux et l'ordre des points est le même, donc d'après la réciproque de Thalès les droites sont parallèles.

Erreurs fréquentes

Se tromper d'hypoténuse : c'est toujours le côté opposé à l'angle droit.
Oublier la racine carrée à la fin d'un calcul avec Pythagore.
Utiliser Pythagore dans un triangle dont on ne sait pas qu'il est rectangle.
Utiliser Thalès sans avoir vérifié (ou sans qu'on ait dit) que les droites sont parallèles.
Écrire un rapport avec les mauvais côtés : chaque rapport met en face un côté du petit triangle et le côté correspondant du grand.

Récapitulatif

Pythagore : triangle rectangle en \(A\) \(\Rightarrow\) \(BC^2 = AB^2 + AC^2\) (calculer une longueur).
Réciproque / contraposée : on compare le carré du plus long côté à la somme des deux autres carrés (prouver qu'un triangle est rectangle ou non).
Thalès : droites sécantes en \(A\) et \((MN) \parallel (BC)\) \(\Rightarrow\) \(\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC} = \frac{MN}{BC}\) (calculer une longueur).
Réciproque de Thalès : rapports égaux et points dans le même ordre \(\Rightarrow\) droites parallèles.

Hypoténuse

Le côté opposé à l'angle droit, le plus long du triangle rectangle.

Théorème de Pythagore

Si ABC est rectangle en A, alors BC² = AB² + AC².

Réciproque de Pythagore

Si le carré du plus long côté égale la somme des carrés des deux autres, le triangle est rectangle.

Théorème de Thalès

Si (MN) // (BC), alors AM/AB = AN/AC = MN/BC.

Réciproque de Thalès

Si AM/AB = AN/AC et les points sont dans le même ordre, alors (MN) // (BC).