Objectifs

• Écrire et utiliser une représentation paramétrique de droite.
• Déterminer une équation cartésienne de plan à partir d'un vecteur normal.
• Trouver un vecteur normal à un plan défini par deux vecteurs directeurs.
• Étudier les positions relatives et calculer les intersections droite/plan et plan/plan en résolvant un système linéaire.

1. Représentation paramétrique d'une droite

Notions clés

Dans un repère \((O;\vec{\imath},\vec{\jmath},\vec{k})\), la droite \(d\) passant par \(A(x_A;y_A;z_A)\) et de vecteur directeur \(\vec{u}\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}\) (non nul) est l'ensemble des points \(M\) tels que \(\overrightarrow{AM} = t\,\vec{u}\), avec \(t \in \mathbb{R}\). D'où :

Le réel \(t\) est le paramètre : chaque valeur de \(t\) donne un point de la droite.

Exemple résolu 1

Soit \(d\) la droite passant par \(A(1;2;-1)\) de vecteur directeur \(\vec{u}\begin{pmatrix}2\\-1\\3\end{pmatrix}\). Écrire une représentation paramétrique de \(d\), puis dire si \(B(5;0;5)\) et \(C(3;1;1)\) appartiennent à \(d\). Cherche d'abord.

2. Équation cartésienne d'un plan

Notions clés

• Un vecteur normal \(\vec{n}\) à un plan \(\mathcal{P}\) est un vecteur non nul orthogonal à tous les vecteurs du plan.
• Le plan passant par \(A\) et de vecteur normal \(\vec{n}\) est l'ensemble des points \(M\) tels que \(\overrightarrow{AM} \cdot \vec{n} = 0\).
• Si \(\vec{n}\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}\), le plan a une équation de la forme \[ax + by + cz + d = 0\] et réciproquement, une telle équation (avec \(a\), \(b\), \(c\) non tous nuls) définit un plan de vecteur normal \(\vec{n}\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}\).

Exemple résolu 2

Déterminer une équation cartésienne du plan \(\mathcal{P}\) passant par \(A(1;0;2)\) et de vecteur normal \(\vec{n}\begin{pmatrix}2\\-1\\3\end{pmatrix}\). Cherche d'abord.

Exemple résolu 3 : trouver un vecteur normal

Le plan \(\mathcal{Q}\) passe par \(A(1;1;0)\) et a pour vecteurs directeurs \(\vec{u}\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}\) et \(\vec{v}\begin{pmatrix}0\\1\\2\end{pmatrix}\). Trouver une équation de \(\mathcal{Q}\). Cherche d'abord.

3. Positions relatives et intersections

Droite et plan

Soit \(d\) de vecteur directeur \(\vec{u}\) et \(\mathcal{P}\) de vecteur normal \(\vec{n}\).

• Si \(\vec{u}\cdot\vec{n} \neq 0\) : \(d\) et \(\mathcal{P}\) sont sécants en un point unique.
• Si \(\vec{u}\cdot\vec{n} = 0\) : \(d\) est parallèle à \(\mathcal{P}\) ; elle est contenue dans \(\mathcal{P}\) si un de ses points est dans \(\mathcal{P}\), sinon elle ne le rencontre pas.

flowchart LR
A[Calculer u scalaire n] --> B{Produit nul}
B -- non --> C[Secants en un point]
B -- oui --> D{Point de d dans P}
D -- oui --> E[d contenue dans P]
D -- non --> F[Strictement paralleles]

Exemple résolu 4 : intersection droite/plan

Avec \(d : \begin{cases} x = 1 + 2t \\ y = 2 - t \\ z = -1 + 3t \end{cases}\) et \(\mathcal{P} : x + y + z - 6 = 0\), trouver \(d \cap \mathcal{P}\). Cherche d'abord.

Le long de la droite, la quantité \(x + y + z - 6\) devient une fonction affine de \(t\) : \(f(t) = at + b\), où \(a = \vec{u}\cdot\vec{n}\). Fais varier \(a\) et \(b\) : la droite coupe le plan quand \(f(t) = 0\). Si \(a = 0\), soit \(f\) ne s'annule jamais (parallèles), soit elle est toujours nulle (droite contenue dans le plan).

Deux plans

Deux plans de vecteurs normaux \(\vec{n_1}\) et \(\vec{n_2}\) :

• si \(\vec{n_1}\) et \(\vec{n_2}\) sont colinéaires, les plans sont parallèles (confondus ou disjoints) ;
• sinon, ils sont sécants selon une droite.

Exemple résolu 5 : intersection de deux plans

\(\mathcal{P}_1 : x + y + z - 6 = 0\) et \(\mathcal{P}_2 : x - y + z - 2 = 0\). Déterminer \(\mathcal{P}_1 \cap \mathcal{P}_2\). Cherche d'abord.

Erreurs fréquentes

• Utiliser deux paramètres différents pour une même droite, ou le même paramètre pour deux droites distinctes (prendre \(t\) et \(s\)).
• Prendre le vecteur normal d'un plan pour un vecteur directeur, ou l'inverse.
• Oublier de vérifier qu'un point trouvé vérifie toutes les équations.
• Croire qu'une seule équation linéaire suffit à décrire une droite de l'espace : il en faut deux (intersection de deux plans) ou une représentation paramétrique.
• Conclure « parallèles » sans tester si la droite est contenue dans le plan.

Récapitulatif

Une droite se décrit par une représentation paramétrique \(M = A + t\,\vec{u}\). Un plan se décrit par une équation \(ax + by + cz + d = 0\) où \(\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}\) est un vecteur normal. Le produit scalaire \(\vec{u}\cdot\vec{n}\) donne la position d'une droite et d'un plan ; la colinéarité des normales donne la position de deux plans. Toute intersection se calcule en résolvant un système linéaire.