Traduction géométrique en équations linéaires — Terminale

Traduction géométrique en équations linéaires

Niveau : Terminale. Thème : Représentations et équations dans l'espace. Objectif : savoir traduire des contraintes géométriques (appartenance, parallélisme, orthogonalité, intersection) en équations linéaires et résoudre les systèmes associés.

1. Rappels utiles

Vecteurs en R^3 : u = (u1,u2,u3). Somme et combinaison linéaire.
Produit scalaire : u·v = u1v1 + u2v2 + u3v3. Orthogonalité ⇔ u·v = 0.
Produit vectoriel : u × v donne un vecteur orthogonal aux deux si u et v ne sont pas colinéaires.

2. Équations d'une droite

Dans R^3, une droite D est donnée par :

Forme paramétrique : si A(x0,y0,z0) est un point de D et u = (u1,u2,u3) un vecteur directeur,

  D : x = x0 + t u1,
      y = y0 + t u2,
      z = z0 + t u3,
      pour t ∈ R

Forme symétrique (si u1,u2,u3 ≠ 0) : (x-x0)/u1 = (y-y0)/u2 = (z-z0)/u3.
Appartenance d'un point M(x,y,z) à D ⇔ il existe t tel que les trois égalités paramétriques sont vraies → système linéaire en t.

3. Équations d'un plan

Un plan Π peut s'exprimer de deux manières usuelles :

Forme cartésienne : ax + by + cz + d = 0, où n = (a,b,c) est un vecteur normal au plan.
Forme paramétrique : si A est un point du plan et u,v deux vecteurs directeurs non colinéaires,

  Π : X = A + s u + t v,  pour s,t ∈ R

Appartenance d'un point M(x,y,z) au plan cartésien ⇔ il satisfait l'équation linéaire en x,y,z.

4. Traduction géométrique → équations linéaires : principes

« M appartient à D » → substitution des coordonnées de M dans la forme paramétrique (système en t) ou vérification des proportions (forme symétrique).
« M appartient à Π » → substitution des coordonnées dans ax+by+cz+d=0 ou résolution du système paramétrique en s,t.
Parallélisme droite-plan : vecteur directeur u de la droite orthogonal au normal n du plan ⇔ u·n = 0 (équation linéaire en composantes de u ou en paramètres si u dépend d'inconnues).
Parallélisme de droites : u colinéaire à v ⇔ il existe λ tel que u = λ v → trois équations linéaires liant composantes et λ (système homogène).
Orthogonalité : u·v = 0 → équation linéaire en les composantes.
Intersection : résoudre le système formé par les équations des deux objets (ex. résoudre paramétrique d'une droite avec équation cartésienne d'un plan, ou résoudre deux plans pour obtenir une droite).

5. Méthode générale de traduction et résolution

Identifier les objets (points donnés, vecteurs directeurs, normales, inconnues).
Écrire les équations correspondant à chaque contrainte (appartenance → égalités, orthogonalité → produit scalaire = 0, colinéarité → existence d'un scalaire, etc.).
Rassembler les équations en un système linéaire (en variables x,y,z, paramètres t,s, ou scalaires λ, etc.).
Résoudre par substitution, élimination ou méthode matricielle (Gauss). Interpréter les solutions géométriquement.

6. Exemples résolus

Exemple 1 — appartenance d'un point à une droite

D : A(1,0,2), u = (2,-1,3). Vérifier si M(3,-1,5) appartient à D.

Écrire le système paramétrique :

  x = 1 + 2t
  y = 0 - t
  z = 2 + 3t

On cherche t tel que x=3, y=-1, z=5. De x: 1+2t=3 ⇒ t=1. De y: 0-t=-1 ⇒ t=1. De z: 2+3t=5 ⇒ t=1. Tous concordent ⇒ M appartient à D.

Exemple 2 — droite intersection de deux plans

Soient Π1 : x + 2y - z + 1 = 0 et Π2 : 2x - y + z - 3 = 0. Trouver Π1 ∩ Π2.

Résoudre le système linéaire (deux équations, trois inconnues) :

  x + 2y - z = -1
  2x - y + z = 3

Additionner les deux équations pour éliminer z :

  3x + y = 2  ⇒ y = 2 - 3x

Remplacer dans la première : x + 2(2-3x) - z = -1 ⇒ x + 4 -6x - z = -1 ⇒ -5x - z = -5 ⇒ z = -5x +5

Paramétriser en posant x = t :

  x = t
  y = 2 - 3t
  z = -5t + 5

Donc la droite d'intersection a pour vecteur directeur (1,-3,-5) et passe par t=0 → point (0,2,5).

7. Exercices rapides (avec indications)

Soit la droite D passant par A(0,1,2) de vecteur directeur u = (1,2,-1). Déterminer l'équation cartésienne du plan Π qui contient D et le point B(1,0,0). Indication : trouver un vecteur directeur v = AB puis le normal n = u × v, puis l'équation du plan.
Trouver l'équation du plan Π parallèle à (x-2)+2(y+1)-3(z-4)=0 et passant par M(1,0,0). Indication : même normal, calculer d tel que n·M + d = 0.
Déterminer si la droite D1 : (x,y,z) = (1,0,0) + s(2,1,0) et la droite D2 : (x,y,z) = (0,1,1) + t(4,2,0) sont coplanaires ou parallèles. Indication : comparer vecteurs directeurs et résoudre pour l'appartenance.

Solutions (brefs)

1) AB = (1,-1,-2). u × AB = determinant → n. Calcul rapide : u=(1,2,-1), AB=(1,-1,-2) ⇒ n=( (2)(-2)-(-1)(-1), - (1(-2)-(-1)1), 1(-1)-2*1 ) = ( -4-1, -(-2+1), -1-2 ) = (-5,1,-3). Equation : -5x + y -3z + d = 0; passer par A(0,1,2) ⇒ -5·0 +1 -6 + d =0 ⇒ d=5 ⇒ -5x + y -3z +5=0.

2) Le plan donné a normal n = (1,2,-3). Equation cherchée : 1(x)+2(y)+(-3)(z)+d=0. Pour M(1,0,0): 1+0+0+d=0 ⇒ d=-1. Donc x+2y-3z-1=0.

3) Les vecteurs directeurs sont u1=(2,1,0), u2=(4,2,0)=2u1 → D2 est colinéaire à D1 (même direction). Pour être parallèles distinctes ou confondues, voir si un point de D2 appartient à D1 : chercher s,t tels que (1+2s,0+s,0)=(0+4t,1+2t,1). Troisième coordonnée 0=1 impossible ⇒ droites parallèles distinctes (même direction, plans parallèles en z différent).

8. Pièges fréquents

Confondre vecteur normal et vecteur directeur : normal n vérifie n·u = 0 pour tout vecteur directeur u du plan.
Ne pas vérifier les trois coordonnées lors d'une identification de paramètre t (toujours vérifier les trois égalités).
Oublier les constantes (terme d) dans l'équation cartésienne d'un plan.

9. Fiche mémo

Droite paramétrique : OM = OA + t u.
Plan cartésien : ax + by + cz + d = 0, n = (a,b,c).
Appartenance → substitution → système linéaire.
Orthogonalité → produit scalaire = 0 (équation linéaire en composantes).
Colinéarité → existence d'un λ tel que u = λ v (système linéaire homogène pour λ).