Transformation Affine du Graphique y = f(x)

Introduction

Une transformation affine modifie le graphique d'une fonction tout en conservant la forme générale : elle peut l'étirer, la comprimer, la déplacer ou la faire pivoter.

Forme générale de la transformation affine

Une transformation affine appliquée à une fonction \( y = f(x) \) peut s'écrire sous la forme :

\( y = a imes f(b imes (x - c)) + d \)

où :

\( a \) est le coefficient de **compression/étirement** vertical(e)
\( b \) est le coefficient de **compression/étirement** horizontal(e)
\( c \) permet de **déplacer** la courbe horizontalement
\( d \) permet de **déplacer** la courbe verticalement

Explication des transformations

Multiplication par \( a \) : étire ou comprime la courbe verticalement :

Si \( a > 1 \), la courbe s'étire (devient plus large)
Si \( 0 < a < 1 \), la courbe se comprime
Si \( a \) est négatif, la courbe est aussi réfléchie par rapport à l'axe des x

Multiplication par \( b \) : étire ou comprime la courbe horizontalement :

Si \( b > 1 \), la courbe se comprime horizontalement
Si \( 0 < b < 1 \), la courbe s'étire horizontalement
Si \( b \) est négatif, en plus la courbe est réfléchie par rapport à l'axe des y

Décalage horizontal \( c \) : déplace la courbe vers la droite si \( c > 0 \), vers la gauche si \( c < 0 \):

La nouvelle abscisse \( x' = x - c \)

Décalage vertical \( d \) : déplace la courbe vers le haut si \( d > 0 \), vers le bas si \( d < 0 \):

La nouvelle ordonnée \( y' = y + d \)

Exemple

Considérons la fonction : \( y = f(x) = x^2 \)

Application de la transformation : \( y = 2 imes (3 imes (x - 1))^2 + 4 \)

Il s'agit d'une compression verticale par \( a=2 \), d'une compression horizontale par \( b=3 \), d'un déplacement vers la droite de 1, et d'un déplacement vers le haut de 4.

Conclusion

Les transformations affines permettent de manipuler facilement le graphique d'une fonction pour l'adapter ou l'étudier dans différents contextes.