Introduction

En mathématiques, la dérivée d'une fonction permet d'étudier comment cette fonction évolue. Plus précisément, elle permet de déterminer les intervalles de croissance ou de décroissance d'une courbe.

La dérivée d'une fonction

Si \( y = f(x) \), alors sa dérivée, notée \( f'(x) \), mesure la pente de la tangente à la courbe en un point donné. La formule de la dérivée en un point est :

f'(x) = \lim_{h 	o 0} rac{f(x+h) - f(x)}{h}

Interprétation géométrique

Lorsque \( f'(x) > 0 \), la fonction est croissante en ce point : la courbe monte. Lorsqu'\( f'(x) < 0 \), la fonction est décroissante : la courbe descend. Si \( f'(x) = 0 \), la courbe a un sommet ou un point d'inflexion.

Étude de la croissance

Pour analyser la croissance ou la décroissance d'une fonction :

1. Calculer sa dérivée \( f'(x) \).
2. Étudier le signe de \( f'(x) \) :

- Si \( f'(x) > 0 \) sur un intervalle, la fonction est croissante sur cet intervalle.

- Si \( f'(x) < 0 \) sur un intervalle, la fonction est décroissante.

Exemple

Considérons la fonction \( y = f(x) = x^2 - 4x + 3 \).

Sa dérivée est : \[ f'(x) = 2x - 4 \].

Pour déterminer les intervalles de croissance :

• Résoudre \( 2x - 4 = 0 \) : \( x = 2 \).
• Étudier le signe :
• Pour \( x < 2 \), \( f'(x) < 0 \), la fonction est décroissante.
• Pour \( x > 2 \), \( f'(x) > 0 \), la fonction est croissante.