Introduction

En mathématiques, étudier comment une fonction \( y = f(x) \) évolue quand \( x \) change permet de comprendre sa croissance ou sa décroissance. La dérivée \( f'(x) \) est l’outil clé pour cela.

La dérivée : définition

La dérivée de la fonction \( y = f(x) \) en un point \( x \) est notée \( f'(x) \) et se calcule par la formule :

\[ f'(x) = \lim_{h o 0} rac{f(x+h) - f(x)}{h} \]

C’est la pente de la tangente à la courbe au point \( x \).

Interprétation de la dérivée

• Si \( f'(x) > 0 \), la fonction augmente en ce point : elle est croissante.

• Si \( f'(x) < 0 \), la fonction diminue : elle est décroissante.

• Si \( f'(x) = 0 \), la pente est nulle : on peut avoir un maximum, un minimum ou un point stationnaire.

Exemple : fonction affine

Considérons \( y = 3x + 2 \). La dérivée est :

\[ y' = 3 \]

Elle est constante et positive, donc la fonction est toujours croissante.

Graphique illustratif

La dérivée indique la pente de la courbe :

La droite tangente en un point \( x \) a une pente donnée par \( f'(x) \).

Cas particuliers

• Fonctions exponentielles : \( f(x) = e^{ax} \) ont une dérivée \( f'(x) = a e^{ax} \). La croissance dépend de \( a \).

• Fonctions logarithmiques : \( f(x) = \ln(x) \) ont une dérivée positive pour \( x > 0 \), indiquant qu'elles augmentent sur leur domaine.