Transformation du y : Symétries et Translations

Introduction

Dans cette leçon, nous allons découvrir comment transformer une courbe en utilisant des opérations simples : les symétries et les translations. Imagine que tu déplaces ou renverses une figure pour créer une nouvelle forme, c'est ce que l'on appelle des transformations.

Symétries

Symétrie axiale (ou réflexion)

La symétrie axiale est comme si tu regardais dans un miroir : l'image de la courbe reste identique, mais inversée de l'autre côté de l'axe.

Si la courbe est donnée par une fonction \( y = f(x) \), sa symétrie axiale par rapport à l'axe \( y \) est obtenue en remplaçant \( y \) par \(- y \). La nouvelle fonction est donc :

\( y = -f(x) \)

Par exemple, si la courbe de \( y = x^2 \) est réfléchie par rapport à l'axe \( y \), elle devient \( y = -x^2 \).

Symétrie centrale

Cette symétrie est comme tourner la figure de 180° autour d’un point appelé le centre de symétrie.

Pour une fonction \( y = f(x) \), si elle possède une symétrie centrale par rapport à un point \( (a, b) \), la nouvelle courbe est donnée par :

\( y - b = - (f(2a - x) - b) \)

Ce qui revient à réfléchir la courbe autour du point \( (a, b) \).

Translations

Déplacement

La translation consiste à déplacer toute la courbe verticalement ou horizontalement, comme faire glisser une feuille sans la déformer.

Pour une fonction \( y = f(x) \), une translation de \( (h, k) \) (h horizontal, k vertical) donne une nouvelle fonction :

\( y = f(x - h) + k \)

Si \( h \) est positif, la courbe se déplace vers la droite. Si \( h \) est négatif, vers la gauche. Si \( k \) est positif, vers le haut, et si négatif, vers le bas.

Par exemple, déplacer la courbe de \( y = x^2 \) de 3 vers la droite et 2 vers le haut donne :

\( y = (x - 3)^2 + 2 \)

Résumé

• Une symétrie axiale : change \( y \) en \(- y \).
• Une symétrie centrale : réflexion autour d’un point \( (a, b) \).
• Une translation : décaler la courbe avec \( (h, k) \) en utilisant \( y = f(x - h) + k \).

Conclusion

Ces transformations permettent de modifier une courbe sans en changer la forme intrinsèque, comme déplacer ou faire un miroir. Elles sont très utiles en géométrie et en analyse pour comprendre la symétrie des fonctions.