Introduction

Les transformations du graphique d'une fonction permettent de créer de nouvelles fonctions à partir d'une fonction de base, en la déplaçant ou en la symétrisant. Nous allons étudier deux types principales de transformations : les symétries et les translations.

1. Symétries

a. Symétrie par rapport à l'axe vertical (axe d'ordonnée)

Pour obtenir la symétrie du graphique d'une fonction \(f(x)\) par rapport à l'axe vertical, on remplace \(x\) par \(-x\). La nouvelle fonction est :
\[ f(-x) \]

Exemple : Si \(f(x) = x^2\), sa symétrie par rapport à l'axe vertical est \(f(-x) = (-x)^2 = x^2\), identique dans ce cas.

b. Symétrie par rapport à l'axe horizontal (axe des abscisses)

Pour obtenir la symétrie du graphique de \(f(x)\) par rapport à l'axe horizontal, on remplace \(f(x)\) par \(-f(x)\). La nouvelle fonction est :
\[ -f(x) \]

Exemple : Si \(f(x)= \sin x\), sa symétrie horizontale est \( -\sin x \).

2. Translations

a. Déplacer la fonction verticalement

Pour décaler le graphique de \(f(x)\) vers le haut ou le bas, on ajoute ou soustrait une constante \(k\) :

\[ y = f(x) + k \]

Si \(k > 0\), le graphique se déplace vers le haut. Si \(k < 0\), il se déplace vers le bas.

b. Déplacer la fonction horizontalement

Pour décaler le graphique de \(f(x)\) vers la gauche ou la droite, on remplace \(x\) par \(x - h\) :

\[ y = f(x - h) \]

Si \(h > 0\), le graphique se déplace vers la droite. Si \(h < 0\), il se déplace vers la gauche.

Résumé

Ces transformations permettent de modifier la position et la symétrie du graphique d'une fonction.