Transformation du y : Transformation Affine

Introduction

En mathématiques, une transformation affine est une opération qui modifie une fonction ou une courbe tout en conservant certaines propriétés, comme la colinéarité. Elle est couramment utilisée pour transformer des graphiques ou résoudre des équations.

Définition

Une transformation affine de la variable \( y \) se présente sous la forme :

 y \mapsto a y + b \

où a et b sont des nombres réels avec a ≠ 0.

Interprétation graphique

• Si \( a > 1 \) : la courbe est agrandie (scaling vertical)e.
• Si \( 0 < a < 1 \) : la courbe est rétrécie.
• Si \( a < 0 \) : il y a une réflexion par rapport à l'axe horizontal, puis un changement d'échelle.
• Le terme \( +b \) déplace la courbe vers le haut (si \( b > 0 \)) ou vers le bas (si \( b < 0 \)).

Exemples

1. Transformation \( y \mapsto 2 y + 3 \) :
   > La courbe est étirée deux fois verticalement, puis décalée de 3 unités vers le haut.
2. Transformation \( y \mapsto - y - 1 \) :
   > La courbe est réfléchie par rapport à l'axe horizontal et décalée de -1.

Propriétés

• Les transformations affines conservent la colinéarité.
• Si deux points \((x_1, y_1)\) et \((x_2, y_2)\) sont transformés, leurs images seront aussi alignées si initialement elles l’étaient.
• Ces transformations permettent de simplifier des problèmes en changeant d’échelle ou en déplaçant la courbe.

Application

Les transformations affines sont utilisées en géométrie, en statistiques, et en informatique pour manipuler et représenter des données ou des images.