Transformations affines dans le plan : matrices et applications – Mathematiques

Les transformations affines modélisent déplacement, rotation, mise à l’échelle ou translation dans le plan à l’aide de matrices.

Objectifs du cours

Comprendre la notion de transformation affine dans le plan.
Mettre en lien une transformation affine avec une matrice 2x2 et un vecteur de translation.
Reconnaitre et réaliser des transformations comme la translation, la rotation, l’homothétie, et la symétrie.
Savoir représenter une transformation affine par sa matrice et son vecteur de translation.

Notions clés

Transformation affine : Fonction du type \(f: \\\\mathbb{R}^2 \\\\to \\\\mathbb{R}^2\) définie par \(f(\mathbf{x}) = A \mathbf{x} + \mathbf{b}\), où \(A\) est une matrice 2x2 et \(\mathbf{b}\) un vecteur dans \(\\\\mathbb{R}^2\).
Matrice de transformation : Matrice \(A\) qui modélise la partie linéaire (rotation, mise à l’échelle, symétrie) de la transformation.
Vecteur de translation : Vecteur \(\mathbf{b}\) qui déplace tous les points de la figure dans le plan.
Exemples de transformations :Translation, rotation, homothétie, symétrie axiale ou centrale.

Exemples résolus

Exemple 1 : Translation

On veut déplacer chaque point de coordonnée \(\mathbf{x} = \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}\) d’un vecteur \(\mathbf{b} = \begin{bmatrix} 3 \\ -2 \end{bmatrix}\).

La transformation affine s’écrit :

Étape 1 : La matrice \(A\) est la matrice identité car il n’y a pas de déformation : \\\\begin{bmatrix} 1 & 0 \\\\ 0 & 1 \end{bmatrix}

Étape 2 : La translation \(\mathbf{b}\) se traduit par ajouter \(3\) à \(x\) et \(-2\) à \(y\), donnant :

Nouveau point : \(\mathbf{x'} = \\begin{bmatrix} x+3 \\ y-2 \end{bmatrix}\).

Un autre exemple :

Voir la solution

Si \(\mathbf{x} = \\begin{bmatrix} 2 \\ 5 \\end{bmatrix}\), alors : \[ \mathbf{x'} = \\begin{bmatrix} 2+3 \\ 5-2 \\end{bmatrix} = \\begin{bmatrix} 5 \\ 3 \\end{bmatrix}. \]

Exemple 2 : Rotation d’un angle de 90° autour de l’origine

La matrice de rotation est : \[ R = \\begin{bmatrix} 0 & -1 \\\\ 1 & 0 \\end{bmatrix} \]

Transformation : \(\\mathbf{x'} = R \\mathbf{x}\)

Par exemple, pour \(\mathbf{x} = \\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\end{bmatrix}\), on a :

Calcul : \(\\mathbf{x'} = \\begin{bmatrix} 0 & -1 \\\\ 1 & 0 \\end{bmatrix} \\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\end{bmatrix} = \\begin{bmatrix} 0\\ \\ 1 \\end{bmatrix} \)