Objectifs

• Comprendre ce qu'est une transformation affine dans le plan.
• Apprendre à représenter ces transformations avec des matrices.
• Voir comment combiner plusieurs transformations par multiplication de matrices.
• Savoir appliquer une transformation à un vecteur ou un point.

Notions clés

• Transformation affine : fonction qui associe à chaque point \(\mathbf{X}\) un point \(\mathbf{X'} = A\mathbf{X} + \mathbf{b}\), où \(A\) est une matrice \(2 \times 2\) et \(\mathbf{b}\) un vecteur de translation.
• Matrice de transformation : matrice représentant la partie linéaire de la transformation.
• Translation : déplacement d'un point par un vecteur \(\mathbf{b}\).
• Composition : appliquer plusieurs transformations successivement par multiplication des matrices.

Exemple résolu

On souhaite appliquer à un point \( \mathbf{X} = \begin{bmatrix} 3 \ 2 \end{bmatrix} \) une transformation qui consists en une rotation de 90°, suivie d'une translation de \(\begin{bmatrix} 4 \ 1 \end{bmatrix}\).

1. Matrice de rotation de 90° :

   flowchart LR
   A[Rotation 90°]
   A --> B[Matrice R]
   

   \[ R = \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \]

   Application à \(\mathbf{X}\) : \[ \mathbf{X'} = R \times \mathbf{X} = \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} 3 \\ 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -2 \ 3 \end{bmatrix} \]

   Puis ajoutons la translation : \[ \mathbf{X''} = \mathbf{X'} + \begin{bmatrix}4 \ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -2+4 \ 3+1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \ 4 \end{bmatrix} \]

Erreurs fréquentes

• Confondre la matrice de transformation avec celle de rotation simple ou de translation seule.
• Oublier d'appliquer la translation après la multiplication par la matrice.
• Ne pas vérifier si la matrice est inversible si on veut revenir en arrière.

Résumé

Une transformation affine du plan associe chaque point \(\mathbf{X}\) à un point \(\mathbf{X'}=A\mathbf{X} + \mathbf{b}\). Elle peut être représentée par une matrice pour la partie linéaire, combinée à un vecteur de translation. La composition de transformations se fait par multiplication de matrices.