Transformations : Agrandissements et Réductions

Introduction

Les transformations géométriques permettent de modifier la taille ou la position d'une figure sans en changer la forme. Parmi ces transformations, deux importantes sont l'agrandissement et la réduction.

Définition

• Agrandissement : Transformation qui augmente la taille d'une figure en multipliant toutes ses dimensions par un coefficient \(\mathbf{k > 1}\).
• Réduction : Transformation qui diminue la taille d'une figure en multipliant toutes ses dimensions par un coefficient \(\mathbf{0 < k < 1}\).

Le centre d'homothétie

Les transformations d'agrandissement ou de réduction ont un point fixe appelé centre d'homothétie. Lors de la transformation, chaque point de la figure se déplace selon une ligne passant par ce centre.

Le coefficient de développement

Le facteur par lequel la figure est agrandie ou réduite est appelé coefficient de développement ou rapport du centre. On le note souvent \(k\).

Formules

Si une figure de dimensions initiales \(d\) est agrandie ou réduite par un coefficient \(k\), alors la nouvelle dimension \(d'\) est :

\[ d' = k imes d \]

Ici, si \(k > 1\), c'est une agrandissement, si \(0 < k < 1\), c'est une réduction.

Exemples

Agrandissement

Une figure a des côtés de longueur 5 cm. Si elle est agrandie par un coefficient de \(k=3\), alors la nouvelle longueur des côtés sera :

\[ 5 imes 3 = 15 ext{ cm} \]

Réduction

Une figure a des côtés de longueur 10 cm. Si elle est réduite par un coefficient de \(k=0,5\), alors la nouvelle longueur sera :

\[ 10 imes 0,5 = 5 ext{ cm} \]

Conclusion

Les agrandissements et réductions modifient la taille d'une figure selon un rapport donné. La compréhension de ces transformations est essentielle pour manipuler des figures en géométrie et pour résoudre des exercices concrets.