Transformations du y : Symétries et Translations

Introduction

Les transformations du graphe d'une fonction concernent la modification de sa forme ou de sa position, tout en conservant ses propriétés. Deux transformations principales sont la symétrie et la translation.

1. La Symétrie

a) Symétrie axiale par rapport à l’axe vertical (Symétrie par rapport à l’axe des y)

Elle consiste à refléter le graphe par rapport à une droite verticale, généralement l’axe des y. Si la fonction initiale est \(f(x)\), sa symétrie par rapport à l’axe vertical se note \(f(-x)\).

Par exemple, si \(f(x) = x^2\), alors sa symétrie par rapport à l’axe des y est \(f(-x) = (-x)^2 = x^2\).
Le graphe est symétrique par rapport à l’axe des y.

b) Symétrie axiale par rapport à l’axe horizontal (Symétrie par rapport à l’axe des x)

Elle reflète le graphe par rapport à une droite horizontale, souvent l’axe des x. Pour une fonction \(f(x)\), la symétrie est donnée par \( -f(x)\).

Exemple : si \(f(x) = x^3\), la symétrie par rapport à l’axe des x est la fonction \(-f(x) = -x^3\).

2. La Translation

a) Translation verticale

Elle déplace le graphe vers le haut ou vers le bas. Si la fonction est \(f(x)\), la translation vers le haut de \(k\) unités donne \[f(x) + k\], et vers le bas de \(k\) unités donne \[f(x) - k\].

Exemple : la translation vers le haut de 3 unités de \(f(x) = \sqrt{x}\) est donnée par \[f(x) + 3 = \sqrt{x} + 3\].

b) Translation horizontale

Elle déplace le graphe vers la gauche ou la droite. La translation vers la droite de \(h\) unités transforme la fonction en \[f(x - h)\], et vers la gauche de \(h\) unités en \[f(x + h)\].

Exemple : décaler la fonction \(f(x) = x^2\) de 2 unités vers la droite donne \[f(x - 2) = (x - 2)^2\].

Résumé des transformations

Transformation	Forme	Effet
Symétrie axe vertical	\(f(-x)\)	Reflet par rapport à l’axe des y
Symétrie axe horizontal	\(-f(x)\)	Reflet par rapport à l’axe des x
Translation verticale	\(f(x) + k\)	Déplacement vers le haut ou le bas
Translation horizontale	\(f(x - h)\) ou \(f(x + h)\)	Déplacement vers la droite ou la gauche

Conclusion

Les symétries et translations permettent de comprendre comment manipuler graphiquement une fonction. Elles sont essentielles pour analyser et dessiner rapidement les graphes.