Transformations et effets sur les grandeurs : Agrandissements et réductions

Objectif

Comprendre comment les figures géométriques peuvent être agrandies ou réduites en utilisant un centre de transformation avec un coefficient de réduction ou d'agrandissement.

1. Définition

Une transformation par agrandissement ou réduction est une opération qui modifie la taille d'une figure sans changer sa forme, en conservant ses angles.

2. Le centre de la transformation

Le centre est un point fixe, noté généralement \( O \), autour duquel la figure est agrandie ou réduite.

3. Le coefficient de transformation

Il désigne la valeur par laquelle on multiplie les distances par rapport au centre. Il se note généralement \( k \).

• Agrandissement si \( k > 1 \)
• Réduction si \( 0 < k < 1 \)

4. Formules

Soit \( M \) un point de la figure, \( O \) le centre, et \( M' \) le point image après transformation. La relation entre les points est :

\[ec{OM'} = k 	imes ec{OM}\]

En coordonnées, si \( M \) a pour coordonnées \( (x, y) \) et si \( O \) est en \( (x_0, y_0) \), alors \( M' \) a pour coordonnées :

\[(x', y') = (x_0 + k (x - x_0), y_0 + k (y - y_0))\]

5. Exemple

Considérons un triangle avec pour sommet \( A(2, 3) \), \( B(4, 5) \), \( C(3, 2) \), et un centre \( O(1,1) \). Si on réalise une réduction avec \( k= rac{1}{2} \), alors :

• Le point \( A' \) est donné par :

A' = (1 + rac{1}{2}(2 - 1), 1 + rac{1}{2}(3 - 1)) = (1 + 0.5, 1 + 1) = (1.5, 2)\)

• De même pour \( B \) et \( C \).

6. Conclusion

Les transformations par agrandissement ou réduction permettent de changer la taille d'une figure tout en en conservant la forme, en utilisant un centre fixe et un coefficient multiplicatif.