Transformations géométriques : translations, rotations, symétries, homothéties

Les transformations géométriques déplacent ou modifient une figure selon des règles précises.

Objectifs

Comprendre et reconnaître les différentes transformations : translation, rotation, symétrie, homothétie.
Apprendre à réaliser ces transformations et à reconnaître leurs effets.

Notions clés

Translation: Déplacer une figure de façon à ce qu'elle conserve sa forme et sa taille, en la déplaçant selon un vecteur.
Rotation: Tourner une figure autour d’un point fixe d’un certain angle.
Symétrie: Reflet d’une figure par rapport à une droite (symétrie axiale) ou à un point (symétrie centrale).
Homothétie: Redimensionner une figure en conservant ses proportions, selon un centre et un rapport d’homothétie.

Exemples résolus

1. Translation

On déplace le triangle ABC par le vecteur \(\vec{v} = \begin{bmatrix} 3 \\ -2 \end{bmatrix}\).

Le point A(1, 2) après translation devient :

Calcul du nouveau point :

Nouveau A' \( = \begin{bmatrix} 1 + 3 \\ 2 + (-2) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 \\ 0 \end{bmatrix}\)

Donc, A' est le point (4, 0).

2. Rotation

Rotation du point P(2, 0) de \( 90^\circ \) autour de l'origine.

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Appliquer la formule de rotation :

\[ P' = \begin{bmatrix} \cos 90^\circ & -\sin 90^\circ \\ \sin 90^\circ & \cos 90^\circ \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} 2 \\ 0 \end{bmatrix} \]

\[ P' = \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} 2 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \times 2 + (-1) \times 0 \\ 1 \times 2 + 0 \times 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \ 2 \end{bmatrix} \]

3. Symétrie

Symétrie du point M(3, 4) par rapport à la droite d'équation y = x.

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Pour une symétrie par rapport à la droite y = x, on échange les coordonnées :

M' = (4, 3)

4. Homothétie

Homothétie de centre O(0,0) et de rapport \( k=2 \) appliquée au point N(1, 3).

Voir la solution

Calcul du point image :

\[ N' = k \times \begin{bmatrix} 1 \\ 3 \end{bmatrix} = 2 \times \begin{bmatrix} 1 \\ 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \\ 6 \end{bmatrix} \]

Erreurs fréquentes

Confondre la translation et la rotation : dans la translation, il n’y pas de changement d’orientation.
Oublier d’appliquer le centre en homothétie ou modifier l’échelle.
Ne pas respecter le sens de la symétrie ou les angles en rotation.

Récapitulatif

Translation

Déplacement d'une figure selon un vecteur, sans changer sa forme.

Rotation

Tourner une figure autour d’un point fixe d’un certain angle.

Symétrie

Reflet d’une figure par rapport à une droite ou un point.

Homothétie

Redimensionner une figure en conservant les proportions, selon un centre et un rapport.

Quiz de vérification

Quelle transformation conserve la taille et la forme d'une figure ?

Rotation
Homothétie
Travelling

La réponse 2, car l'homothétie conserve la proportion et peut changer la taille mais pas la forme, en redimensionnant.